Znane są nam trzy parkietaże foremne (platońskie), które są zbudowane z jednakowych wielokątów foremnych. Ich środki tworzą regularną sieć płaską.
POLECAMY
Niektóre z siedmiu parkietaży półforemnych (archimedesowych) możemy otrzymać, zastępując wielokąty foremne w parkietażu platońskim wielokątem foremnym o podwójnej liczbie boków, np. kwadraty zastępując ośmiokątami foremnymi. Wolne pola uzupełniamy mniejszymi płytkami kwadratowymi. Tak powstaje np. parkietaż oznaczony (4, 8, 8).
Także równomierne rozsunięcie (ekspansja) i w niektórych przypadkach jednoczesne obrócenie płytek w parkietażu foremnym, tak aby między dwie płytki pasowała płytka kwadratowa lub dwie płytki trójkątne, prowadzą do parkietaży archimedesowych. Tak otrzymujemy parkietaże oznaczone (3, 4, 6, 4), (4, 6, 12), (3, 4, 3, 3, 4) i (3, 3, 3, 3, 6).
Tak jak z sieciami foremnymi możemy postępować z ich podsieciami, co prowadzi do dalszych, czasem mniej znanych parkietaży regularnych, których płytki niekoniecznie muszą być wielokątami foremnymi.
Weźmy dla przykładu podsieć sieci trójkątnej z czterokrotnymi wiązaniami, który to węzeł w poprzednim numerze oznaczono jako 4b. Do budowy nowego parkietażu możemy tu użyć np. dwunastokątów foremnych (ryc. 1). Wolne pola przyjmują kształt trójkątów równobocznych i 18-kątów wklęsłych w formie gwiazdek. Boki dwunastokątów, których nie przecinają wiązania sieci, pełnią bierną funkcję, są one w pewnym sensie nieaktywne. Odcinając je, otrzymamy inną postać tego parkietażu (ryc. 2).
Stosując ekspansję do parkietażu z rys. 1, otrzymamy parkietaż bardziej złożony (ryc. 3). Dwunastokąty zostały rozsunięte i odpowiednio skręcone tak, aby między dwa dwunastokąty pasował romb o kącie ostrym 60°. Zamiast rombu można też użyć dwóch połączonych trójkątów równobocznych.
Odcinając nieaktywne boki dwunastokątów, otrzymamy parkietaż pokazany na ryc. 4. Korzystając z faktu, że wszystkie bryły platońskie i archimedesowe mają trzy- i czterokrotne osie obrotu, możemy wykorzystać sieci płaskie do budowy warstwowych układów z wielościanów regularnych, które w odpowiednim rzucie prostopadłym mają charakter parkietażu. W wersjach ekspandowanych używa się w nich pryzm lub antypryzm. Na ryc. 5–8 pokazane są cztery przykłady takich układów. Pytanie: jakich sieci i wielościanów w nich użyto?
W uzupełnieniu wątku z sieciami foremnymi i ich podsieciami warto wspomnieć o jednej podsieci z trzykrotnymi węzłami, która jest możliwa, ale jest nietypowa przez to, że jej wiązania ograniczają wielokąty wklęsłe (ryc. 9).
Sieć punktowa tej podsieci jest taka sama jak trzech innych podsieci sieci trójkątnej (których?). To oznacza, że mają one takie same komórki Dirichleta-Woronoja. Ale obszar oddziaływania wiązań jest inny (ryc. 10).
Ciekawym sposobem pokrywania płaszczyzny jednakowymi płytkami jest stosowanie płytek, których brzegi nie są proste, lecz są liniami krzywymi, np. łuki okręgów (ryc. 11).
Do ciekawych rezultatów prowadzi też nakładanie na siebie dwu lub więcej sieci i podsieci. Na ryc. 12 pokazano trzy sieci nałożone na siebie. Kolorowanie takich konstrukcji pozostawiam fantazji czytelnika.
Na koniec ciekawostka. Przez nałożenie na siebie sieci, którą tworzą krawędzie parkietażu półforemnego (4, 8, 8), i lekko zmodyfikowanej podsieci sieci kwadratowej, przedstawionej w numerze 3/2017, otrzymujemy rozłożenie kwadratu na pięć części, z których można zbudować ośmiokąt foremny (ryc. 13).
Autorem tego rozłożenia jest Geoffrey Bennett. To i inne ciekawe rozłożenia można znaleźć w książce „Dissections: Plane & Fancy”, której autorem jest Greg N. Frederickson, wydanej przez Cambridge University Press w 2002 r.
