Warto przyjrzeć się ponadto jeszcze dwóm innym bliźniaczym wielościanom o symetrii sześcienno- ośmiościennej opisanym w numerze 5/2015 (nr 417 Matematyki) – ryc. 3, 4 i porównać je z naszymi wielościanami. Okazuje się, że są do siebie podobne nie tylko wyglądem, ale i nazwami.
POLECAMY
Wielościany bliźniacze symetrii sześciennoośmiościennej nazywają się: mały sześciosześciościenny ośmiościan (ryc. 3) oraz mały sześciościan rombowy (ryc. 4).
Zbudujmy w programie Sketchup mały dwunastodwudziestościenny dwunastościan. Konstrukcję rozpoczynamy od archimedesowego dwudziestodwunastościanu rombowego (ryc. 5), którego konstrukcja była opisana w poprzednim artykule. Usuwamy w nim wszystkie ściany kwadratowe, otrzymując formę przedstawioną na ryc. 6. W tym celu wystarczy najechać myszą na taką kwadratową ścianę i wcisnąć klawisz DELETE.
Patrząc na wielościan w takim rzucie, jaki ilustruje ryc. 6, dostrzegamy w jego „wnętrzu” dziesięciokąt foremny, który utworzy się automatycznie, gdy go zamkniemy przez połączenie dowolnych dwóch jego wierzchołków odcinkiem. Na ryc. 7 jest to poziomo położony wielokąt koloru ciemnoczerwonego.
Kreślimy w ten sposób kolejne dziesięciokąty. Ryciny 8, 9 i 10 ilustrują wybrane etapy tej konstrukcji. Na rycinie 8 widać dwa takie dziesięciokąty (czerwony i niebieski), na rycinie 9 trzy (czerwony, niebieski i różowy), a na rycinie 10 wszystkie dwanaście. Zamykają one konstruowany mały dwunastodwudziestościenny dwunastościan.
Do pomalowania tych dwunastu dziesięciokątnych ścian wymagane jest sześć różnych kolorów. Malując, kierujemy się zasadą: ściany równoległe mają ten sam kolor. Użyliśmy jeszcze dwóch kolorów do pomalowania pięciokątów i trójkątów równobocznych. Łącznie jest więc osiem różnych kolorów.
Mały dwunastodwudziestościenny dwunastościan posiada 44 ściany (trzech typów: 12 dziesięciokątnych, 12 pięciokątnych oraz 20 trójkątnych), 60 wierzchołków i 120 krawędzi.
Aby wykonać model tej bryły, skonstruujmy w programie GeoGebra cyrklem i linijką kilka segmentów jej siatki na podstawie rzutów z przodu i z góry.
Przyjrzyjmy się dwóm rzutom wielościanu, z przodu i z góry, w którym można odmierzyć cyrklem krawędzie segmentów siatki – ryc. 11 i 12. Załóżmy, że bazą siatki jest zielona pięciokątna ściana. Niech jej krawędź ma długość a. Jest ona tej samej długości co krawędzie ścian trójkątnych i kwadratowych.
Pozostaje odczytać z konstrukcji długości boków trapezu KMHG, które stanowią dwie przystające ścianki „wklęśnięć” naszego wielościanu (pomalowane kolorem czerwonym na ryc. 11).
Po ich odmierzeniu i dorysowaniu innych ścian pięciokątnych oraz ich zakładek uzyskujemy segment ścian sąsiadujących z pięciokątną ścianą wielościanu, wyróżnioną na ryc. 13 kolorem niebieskim.
Jednak segment ten nie nadaje się do sklejania modelu z uwagi na nadmiar ścian, które trzeba by odcinać w trakcie sklejania modelu. Dlatego tworzymy tylko fragment tego segmentu z odpowiednimi zakładkami.
Ryc. 14 i 15 ilustrują taką siatkę i sposób jej uformowania. Kolejne takie same siatki (w ilości 11 sztuk) doklejamy do tej pierwszej w taki sposób, by pasowały do siebie uzupełniając się wzajemnie. Linie przerywane oznaczają, że zakładki należy przed sklejeniem wygiąć w drugą stronę.
