Przykładowe zadanie
W podręczniku Kambly’ego zostało umieszczone następujące zadanie:
POLECAMY
Zadanie1
Wiedząc, że \(a=7^{m},b=12^{m}\) oraz \(c=16^{m}\), oblicz kąty trójkąta.
Rozwiązanie metodą z XIX wieku
Przytoczymy teraz rozwiązanie tego zadania zaproponowane przez Kambly’ego (dla większej czytelności zostaną dodane fragmenty tablic logarytmiczno-trygonometrycznych Vegi, nie było ich w podręczniku Kambly’ego):
Rozwiązanie2
Na podstawie twierdzenia cosinusów otrzymujemy, że:
\(cosA=\frac{144+256-19}{24\cdot 16}=\frac{351}{384}\)
Stąd, opierając się na wartościach umieszczonych w tablicach
logarytmiczno-trygonometrycznych:
\(log cosA=log351-log384=2,5453071-2,5843312+10=9,9609759\)(spójrz Ryc. 1).
Kątem \(A\) takim, że: \(logcosA=9,9609759\) jest:\(\angle A=23^{\circ}55{}'4{}''\)(obliczony metodą interpolacji z wykorzystaniem wartości umieszczonych na Ryc. 2).
Ponadto, ponownie wykorzystując twierdzenie cosinusów, mamy:
\(cosC=\frac{49+144-256}{168}=-\frac{63}{168}\)
czyli kąt C jest kątem rozwartym oraz:
\(cos(180^{\circ}-C)=\frac{68}{168}\)
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie do powyższego, otrzymujemy, że:
\(\angle 180^{\circ}-C=67^{\circ}58{}'32,5{}''\), stąd:
\(\angle C=112^{\circ}1{}'5{}''\) oraz \(\angle B=44^{\circ}2{}'55,1{}''\).
Rozwiązanie metodą z XX wieku
Należy zauważyć, że zadania powyższego typu znajdowały się również w podręcznikach do matematyki stosowanych w szkołach średnich w XX wieku. Przykładowo w Trygonometrii dla samouków E.J. Pokornego3, można znaleźć zadanie:
Zadanie
Rozwiązać trójkąt, mając dane jego boki:
\(a=12cm,\ b=15cm,\ c=10cm\)
Pokorny rozwiązał to zadanie w bardzo podobny sposób do Kambly’ego. Jedyna różnica jest następująca: Pokorny używał czterocyfrowych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych i miary kątów wyznaczał z dokładnością do minut, podczas gdy Kambly używał tablic siedmiocyfrowych i miary kątów wyznaczał z dokładnością nawet do dziesiątych części sekundy.
W połowie XX wieku używano już zdecydowanie bardziej skondensowanych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych niż w XIX wieku, wykorzystywano wówczas np. Tablice matematyczno-fizyczne czterocyfrowe W. Wojtowicza4.
W Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch (Poradniku logarytmiczno-trygonometrycznym) G.F. Vegi5 autor umieścił tablice logarytmów kolejnych liczb naturalnych od 1 do 101 000, logarytm każdej liczby wypisywał oddzielnie, przez co tablice te zajęły mu 185 stron. W Tablicach matematyczno-fizycznych czterocyfrowych
W. Wojtowicza umieszczono jedynie logarytmy liczb naturalnych od 1 do 10 000 i zajęły one autorowi tylko cztery strony. Tablice logarytmów sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów od 0° do 90°6 u Wojtowicza również były bardziej zwięzłe od analogicznych tablic Vegi. Podstawowa różnica między tabelami Wojtowicza i Vegi była następująca: u Wojtowicza w tabelach z wartościami logarytmów umieszczano również takie wartości, których cechy były ujemne, a u Vegi, jak zostało wspomniane wcześniej, aby uniknąć ujemnych znaków, do wartości logarytmów dodawano 10.
Przedstawimy teraz drugi sposób rozwiązania przytoczonego wyżej zadania z podręcznika Kambly’ego, przy wykorzystaniu metody stosowanej w XX w. oraz Tablic matematyczno-fizycznych czterocyfrowych W. Wojtowicza (w oparciu o sposób rozwiązania zadań tego typu umieszczony w Trygonometrii dla samouków E.J. Pokornego). Przypomnijmy treść zadania:
Zadanie7
Rozwiązać trójkąt, mając dane jego boki:
\(a=7 m,\ b=12 m\ oraz\ c=16 m.\)
Rozwiązanie (na podstawie rozwiązania umieszczonego u Pokornego8)
Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy, że:
1. \(cos\alpha =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)
2. \(cos\beta =\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)
3. \(cos\gamma =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)
Wówczas:
Ad 1. Obliczamy \(cos\alpha\):
\(cos\alpha=\frac{144+256-49}{384}=\frac{351}{384}\)
Aby znaleźć kąt \(\alpha\) taki, że:
\(cos\alpha=\frac{351}{384}\),
logarytmujemy obie strony tego równania:
\(logcos\alpha=log\frac{351}{384}\)
Wówczas: \(logcos\alpha=log351+colg384\).
Z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych odczytujemy wartości \(log351\) oraz \(log384\):
\(log351=2,5453\) oraz \(log384=2,5843\) .
Wiemy, że \(log384=2,5843\). Teraz obliczymy kologarytm tej liczby, stosując następującą zasadę:
- cechę logarytmu powiększamy o 1 i zamieniamy znak tej liczby na przeciwny; jest to część całkowita kologarytmu,
- mantysę logarytmu odejmujemy od jedności; jest to część ułamkowa kologarytmu, zawsze dodatnia.
Zatem \(colog384=\bar{3},4157\).
Wówczas:
\(logcos\alpha=2,5453+\bar{3},4157\)
dodając mantysy do mantys oraz cechy liczb do cech, przy uwzględnieniu znaków liczb całkowitych, otrzymujemy, że:
\(logcos\alpha=\bar{1},9610\)
W tablicach Wojtowicza tego logarytmu nie ma. Odnajdujemy najbliższy logarytm o mantysie mniejszej od \(9610\), jest nim logarytm: \(\bar{1},9607\) (spójrz na Ryc. 3 z tablic Wojtowicza). Temu logarytmowi odpowiada kąt \(24^{\circ}\). Znajdujemy różnicę między mantysą daną a mantysą znalezioną z tablic: \( 9610 – 9607 = 3.\). Wówczas \(3\) jest poprawką, której, zgodnie z tablicami, odpowiada kąt \({5}'\). Ponieważ w miarę wzrostu kąta w granicach od \(0^{\circ}\) do \(90^{\circ}\) wartość cosinusa maleje, w związku z tym maleją też odpowiednie logarytmy, czyli poprawkę musimy odjąć. Ostatecznie otrzymujemy, że:
\(a\approx 23^{\circ}55{}'\)
Rozumowanie to można zapisać w sposób symboliczny następująco:
Ad 2. Obliczamy \(cos\beta\):
\(cos\beta=\frac{49+256-144}{224}=\frac{161}{224}\)
Po zlogarytmowaniu zapisujemy:
Ad 3. Obliczamy \(cos\gamma\):
\(cos\gamma=\frac{49+144-256}{168}=-\frac{63}{168}\)
zatem \(\gamma\) jest kątem rozwartym oraz \(cos(180^{\circ}-\gamma)=\frac{63}{168}\)
Znajdźmy teraz kąt \(cos\delta(=180^{\circ}-\gamma )\) wiedząc, iż \(cos\delta=\frac{63}{168}\) .
W tym celu logarytmujemy obie strony równania \(cos\delta=\frac{63}{168}\):
Stąd: \(\gamma=112^{\circ}1{}'\).
Sprawdzenie: \(\alpha+\beta+\gamma\approx 23^{\circ}55{}'+44^{\circ}3{}'+112^{\circ}1{}'=179^{\circ}59{}'\)
Różnica 1' powstała na skutek przybliżeń rachunkowych.
Konkluzje
Porównując oba powyższe sposoby rozwiązania zadania: Rozwiązać trójkąt, mając dane jego boki: \(a=7m,\ b=12m,\ c=16m\), zauważa się, iż: w podręczniku Kambly’ego wydanym w XIX wieku nie używano sformułowań typu: pewna wartość jest równa w przybliżeniu innej (np. a jest równe w przybliżeniu b). W sytuacjach gdy dwie wartości różniły się od siebie nieznacznie, pomijano „w przybliżeniu” i pisano: „pewna wartość jest równa innej” (a jest równe b; a = b), nawet gdy tej równości nie było. U Pokornego (XX wiek) przykładano już znacznie większą wagę do tego, aby wszelkie zapisy były ścisłe matematycznie i używano: „w przybliżeniu” (co symbolicznie zapisywano: a ≈ b),
w XIX wieku logarytm o podstawie 10 oznaczano symbolem: log, w XX wieku: lg,
w XIX wieku na lekcjach matematyki nie posługiwano się pojęciami: cecha liczby, mantysa i kologarytm.
Rozwiązywanie trójkątów na lekcjach matematyki w XXI wieku
Spójrzmy do jednego z najpopularniejszych polskich podręczników do matematyki z XXI wieku: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników, dla klas: 1, 2 oraz 39 1011 autorstwa M. Kurczaba, E. Kurczab oraz E. Świdy. W tym podręczniku nie ma zadania wymagającego wyznaczenia kątów trójkąta, gdy znane są wszystkie jego boki. Można tam jedynie znaleźć bardzo uproszczoną wersję tego zadania:
Zadanie
Jakim trójkątem (ostrokątnym, prostokątnym czy rozwartokątnym) jest trójkąt o bokach mających długość 4 cm, 5 cm, 7 cm?
Rozwiązanie: Oznaczmy kolejno długości boków trójkąta przez a, b oraz c. Mamy wówczas \(a=4cm,\ b=5cm,\ c=7cm\).
Wtedy kąt γ, leżący naprzeciwko najdłuższego boku, ma największą miarę. Na podstawie twierdzenia cosinusów otrzymujemy:
\(cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)
zatem \(cos\alpha=\frac{4^{2}+5^{2}-7^{2}}{2\cdot 4\cdot 5}=-\frac{1}{5}\), co kończy rozwiązanie.
Cosinus kąta γ jest ujemny, więc kąt γ jest rozwarty. Trójkąt jest rozwartokątny.
Analizując treści zawarte w podręczniku M. Kurczaba, E. Kurczab oraz E. Świdy dla klasy pierwszej, drugiej oraz trzeciej liceów i techników, można zaobserwować,
że w XXI wieku na lekcjach trygonometrii w głównej mierze rozwiązuje się zadania, które wymagają znajomości wartości funkcji trygonometrycznych (sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa) jedynie podstawowych kątów: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° itd. Tylko w podręczniku do klasy trzeciej można znaleźć (dwa) zadania, których rozwiązanie wymaga odszukania w tablicach trygonometrycznych kąta, gdy znana jest wartość jego funkcji trygonometrycznej:
Zadanie12
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma 2 cm długości, a wysokość graniastosłupa jest równa cm. Wyznacz miarę kąta między:
a) przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną,
b) przekątnymi ścian bocznych (wychodzącymi z tego samego wierzchołka).
Znalezienie odpowiedzi do punktu b) wymaga odszukania w tablicach trygonometrycznych kąta, którego sinus jest równy: \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) .
Zadanie13
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 12 cm,
|AC| = |BC| = 10 cm. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają jednakową długość. Wysokość ostrosłupa jest równa 15 cm. Wyznacz kąty jakie tworzą krawędzie boczne
z płaszczyzną podstawy (Rozwiązanie tego zadania wymaga znalezienia w tablicach trygonometrycznych kąta, którego tangens jest równy 2,4).
Ponadto analiza pisemnych egzaminów maturalnych z matematyki, przeprowadzonych w Polsce w latach 2005–2014, pozwala zauważyć, że w tym czasie na maturach pojawiły się jedynie trzy zadania, które wymagały od uczniów posłużenia się tablicami trygonometrycznymi. Zadania te pojawiły się w 2006 (poziom rozszerzony) i 2008 r.
(poziom podstawowy i rozszerzony). Nie dotyczyły one rozwiązywania trójkątów.
W XXI w. uczniowie używają tablic wartości funkcji trygonometrycznych, ale mają one już jedynie symboliczny charakter. Od 2010 roku, decyzją Dyrekcji Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, w trakcie egzaminu maturalnego przeprowadzanego w Polsce uczniowie mogą korzystać z tablic matematycznych zatytułowanych: Wybrane wzory matematyczne14. Są one również dopuszczone do użytku szkolnego. Tam tablice wartości funkcji trygonometrycznych są jednostronicowe.
Zauważmy, że z biegiem lat coraz mniejszą wagę przykłada się do korzystania z tablic trygonometrycznych. Obecnie nie wykorzystuje się tablic logarytmiczno-trygonometrycznych, co w dużym stopniu jest konsekwencją wprowadzenia przyrządów do liczenia (arytmometrów, a później kalkulatorów). W XXI wieku uczniowie na lekcjach trygonometrii, w porównaniu z sytuacją, która miała miejsce w XIX wieku, wykonują bardzo proste rachunki i zazwyczaj pracują na tych samych kątach. Może warto we współczesnej praktyce dydaktycznej wykorzystać zadania, które rozwiązywano w szkołach średnich w XIX w.? Może warto pracować na lekcjach z „niestandardowymi” kątami, przecież współcześni uczniowie są równie zdolni jak ci z XIX i XX w.
