Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka dawniej i dziś

24 czerwca 2018

NR 31 (Marzec 2018)

Trygonometria płaska (cz. 2)
W gimnazjalnym nauczaniu matematyki w XIX wieku.

0 251

W XIX wieku w nauczaniu szkolnym matematyki funkcje trygonometryczne były wykorzystywane przede wszystkim do rozwiązywania trójkątów płaskich – znajdowania długości wszystkich boków i miar wszystkich kątów trójkąta w oparciu o pewne dane wyjściowe. W pierwszej części niniejszego artykułu zostały omówione zagadnienia z trygonometrii płaskiej umieszczone w podręczniku Die Elementar Mathematik [Matematyka elementarna] Ludwiga Kambly’ego. Tego podręcznika używano np. w gimnazjach w Toruniu i Bydgoszczy. W tej części artykułu zostanie rozwiązane przykładowe zadanie z podręcznika Kambly’ego. Będzie to zadanie typu: „rozwiąż trójkąt płaski”. Rozwiązanie zostanie przeprowadzone na dwa sposoby: metodą z XIX oraz metodą z XX wieku. Artykuł zostanie zakończony komentarzem dotyczącym możliwości rozwiązywania zadań tego typu we współczesnej praktyce edukacyjnej. 

Przykładowe zadanie

W podręczniku Kambly’ego zostało umieszczone następujące zadanie:

Zadanie1
Wiedząc, że \(a=7^{m},b=12^{m}\) oraz \(c=16^{m}\), oblicz kąty trójkąta.

Rozwiązanie metodą z XIX wieku

Przytoczymy teraz rozwiązanie tego zadania zaproponowane przez Kambly’ego (dla większej czytelności zostaną dodane fragmenty tablic logarytmiczno-trygonometrycznych Vegi, nie było ich w podręczniku Kambly’ego):

Rozwiązanie2
Na podstawie twierdzenia cosinusów otrzymujemy, że:

\(cosA=\frac{144+256-19}{24\cdot 16}=\frac{351}{384}\)

Stąd, opierając się na wartościach umieszczonych w tablicach 
logarytmiczno-trygonometrycznych:

\(log cosA=log351-log384=2,5453071-2,5843312+10=9,9609759\)(spójrz Ryc. 1).


Kątem \(A\) takim, że: \(logcosA=9,9609759\) jest:\(\angle A=23^{\circ}55{}'4{}''\)(obliczony metodą interpolacji z wykorzystaniem wartości umieszczonych na Ryc. 2).

Ponadto, ponownie wykorzystując twierdzenie cosinusów, mamy:
\(cosC=\frac{49+144-256}{168}=-\frac{63}{168}\)

czyli kąt C jest kątem rozwartym oraz:

\(cos(180^{\circ}-C)=\frac{68}{168}\)

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie do powyższego, otrzymujemy, że:

\(\angle 180^{\circ}-C=67^{\circ}58{}'32,5{}''\), stąd:
\(\angle C=112^{\circ}1{}'5{}''\) oraz \(\angle B=44^{\circ}2{}'55,1{}''\).

Rozwiązanie metodą z XX wieku

Należy zauważyć, że zadania powyższego typu znajdowały się również w podręcznikach do matematyki stosowanych w szkołach średnich w XX wieku. Przykładowo w Trygonometrii dla samouków E.J. Pokornego3, można znaleźć zadanie:

Zadanie

Rozwiązać trójkąt, mając dane jego boki:
\(a=12cm,\ b=15cm,\ c=10cm\)

Pokorny rozwiązał to zadanie w bardzo podobny sposób do Kambly’ego. Jedyna różnica jest następująca: Pokorny używał czterocyfrowych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych i miary kątów wyznaczał z dokładnością do minut, podczas gdy Kambly używał tablic siedmiocyfrowych i miary kątów wyznaczał z dokładnością nawet do dziesiątych części sekundy.

W połowie XX wieku używano już zdecydowanie bardziej skondensowanych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych niż w XIX wieku, wykorzystywano wówczas np. Tablice matematyczno-fizyczne czterocyfrowe W. Wojtowicza4.

W Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch (Poradniku logarytmiczno-trygonometrycznym) G.F. Vegi5 autor umieścił tablice logarytmów kolejnych liczb naturalnych od 1 do 101 000, logarytm każdej liczby wypisywał oddzielnie, przez co tablice te zajęły mu 185 stron. W Tablicach matematyczno-fizycznych czterocyfrowych 
W. Wojtowicza umieszczono jedynie logarytmy liczb naturalnych od 1 do 10 000 i zajęły one autorowi tylko cztery strony. Tablice logarytmów sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów od 0° do 90°6 u Wojtowicza również były bardziej zwięzłe od analogicznych tablic Vegi. Podstawowa różnica między tabelami Wojtowicza i Vegi była następująca: u Wojtowicza w tabelach z wartościami logarytmów umieszczano również takie wartości, których cechy były ujemne, a u Vegi, jak zostało wspomniane wcześniej, aby uniknąć ujemnych znaków, do wartości logarytmów dodawano 10.

Przedstawimy teraz drugi sposób rozwiązania przytoczonego wyżej zadania z podręcznika Kambly’ego, przy wykorzystaniu metody stosowanej w XX w. oraz Tablic matematyczno-fizycznych czterocyfrowych W. Wojtowicza (w oparciu o sposób rozwiązania zadań tego typu umieszczony w Trygonometrii dla samouków E.J. Pokornego). Przypomnijmy treść zadania:

Zadanie7
Rozwiązać trójkąt, mając dane jego boki: 
\(a=7 m,\ b=12 m\ oraz\ c=16 m.\)

Rozwiązanie (na podstawie rozwiązania umieszczonego u Pokornego8)
Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy, że:
1. \(cos\alpha =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

2. \(cos\beta =\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

3. \(cos\gamma =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Wówczas:
Ad 1. Obliczamy \(cos\alpha\):

\(cos\alpha=\frac{144+256-49}{384}=\frac{351}{384}\)

Aby znaleźć kąt \(\alpha\) taki, że:
  \(cos\alpha=\frac{351}{384}\)

logarytmujemy obie strony tego równania:

\(logcos\alpha=log\frac{351}{384}\)

Wówczas: \(logcos\alpha=log351+colg384\).

Z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych odczytujemy wartości \(log351\) oraz \(log384\):

\(log351=2,5453\) oraz  \(log384=2,5843\) .

Wiemy, że \(log384=2,5843\). Teraz obliczymy kologarytm tej liczby, stosując następującą zasadę:

  • cechę logarytmu powiększamy o 1 i zamieniamy znak tej liczby na przeciwny; jest to część całkowita kologarytmu,
  • mantysę logarytmu odejmujemy od jedności; jest to część ułamkowa kologarytmu, zawsze dodatnia.

Zatem \(colog384=\bar{3},4157\).

Wówczas:

\(logcos\alpha=2,5453+\bar{3},4157\)

dodając mantysy do mantys oraz cechy liczb do cech, przy uwzględnieniu znaków liczb całkowitych, otrzymujemy, że:

\(logcos\alpha=\bar{1},9610\)

W tablicach Wojtowicza tego logarytmu nie ma. Odnajdujemy najbliższy logarytm o mantysie mniejszej od \(9610\), jest nim logarytm: \(\bar{1},9607\) (spójrz na Ryc. 3 z tablic Wojtowicza). Temu logarytmowi odpowiada kąt \(24^{\circ}\). Znajdujemy różnicę między mantysą daną a mantysą znalezioną z tablic: \( 9610 – 9607 = 3.\). Wówczas \(3\) jest poprawką, której, zgodnie z tablicami, odpowiada kąt \({5}'\). Ponieważ w miarę wzrostu kąta w granicach od \(0^{\circ}\) do \(90^{\circ}\) wartość cosinusa maleje, w związku z tym maleją też odpowiednie logarytmy, czyli poprawkę musimy odjąć. Ostatecznie otrzymujemy, że:

\(a\approx 23^{\circ}55{}'\)

Rozumowanie to można zapisać w sposób symboliczny następująco:
  
Ad 2. Obliczamy \(cos\beta\):

\(cos\beta=\frac{49+256-144}{224}=\frac{161}{224}\)

Po zlogarytmowaniu zapisujemy:

Ad 3. Obliczamy \(cos\gamma\):

\(cos\gamma=\frac{49+144-256}{168}=-\frac{63}{168}\)

zatem \(\gamma\) jest kątem rozwartym oraz  \(cos(180^{\circ}-\gamma)=\frac{63}{168}\)

Znajdźmy teraz kąt \(cos\delta(=180^{\circ}-\gamma )\) wiedząc, iż \(cos\delta=\frac{63}{168}\)

W tym celu logarytmujemy obie strony równania \(cos\delta=\frac{63}{168}\):

Stąd: \(\gamma=112^{\circ}1{}'\).
Sprawdzenie: \(\alpha+\beta+\gamma\approx 23^{\circ}55...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy