Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

25 czerwca 2018

NR 30 (Styczeń 2018)

Trygonometria płaska (cz. I)
W gimnazjalnym nauczaniu matematyki w XIX wieku - rozwiązywanie trójkątów kiedyś i dziś

0 94

Trygonometria to słowo wywodzące się od greckich słów trigōnon „trójkąt” oraz metréō „mierzę”. Jest to dział matematyki poświęcony badaniu własności funkcji trygonometrycznych oraz ich wykorzystaniu w geometrii.

W XIX wieku na lekcjach matematyki funkcje trygonometryczne były używane przede wszystkim do rozwiązywania trójkątów płaskich (znajdujących się na płaszczyźnie) i sferycznych (umieszczonych na powierzchni kuli). Rozwiązywaniem trójkąta nazywano wówczas procedurę znajdowania długości wszystkich boków i miar wszystkich kątów trójkąta w oparciu o pewne dane wyjściowe.

Trójkąty płaskie rozwiązywano na lekcjach matematyki we wszystkich dziewiętnastowiecznych szkołach średnich. W gimnazjach i szkołach typu realnego zadania te były na najwyższym poziomie trudności. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych było zarezerwowane niemalże wyłącznie dla szkół przygotowujących młodzież do studiów uniwersyteckich.

Rozważania umieszczone w niniejszym artykule będą skupione wokół trygonometrii płaskiej i rozwiązywania trójkątów płaskich. Zostaną omówione zagadnienia z trygonometrii płaskiej, umieszczone w jednym z najpopularniejszych podręczników do matematyki wykorzystywanych w gimnazjach funkcjonujących na ziemiach polskich zaboru pruskiego, czyli w podręczniku Die Elementar Mathematik (Matematyka elementarna) Ludwiga Kambly’ego1. Następnie będzie rozwiązane przykładowe zadanie z tego podręcznika dwiema metodami: z XIX i z XX wieku. Pojawi się też komentarz dotyczący rozwiązywania tego typu zadań w polskich szkołach w XXI wieku. Pozwoli to zaobserwować, jakich zmian na przestrzeni tych wieków dokonano w szkolnym sposobie rozwiązywania zadań typu „rozwiąż trójkąt płaski”.

Podręcznik Die Elementar Mathematik Ludwiga Kambly’ego składał się z czterech części: arytmetyczno-algebraicznej, planimetrycznej, trygonometrycznej oraz stereometrycznej. Każda część była oddzielną książką.

Trygonometria płaska w Die Elementar Mathematik L. Kambly’ego

Część trygonometryczna podręcznika Die Elementar Mathematik2 została podzielona na trzy główne rozdziały: goniometrię, trygonometrię płaską i trygonometrię sferyczną. Goniometria to dział trygonometrii zajmujący się badaniem własności funkcji trygonometrycznych3.

Wstępem do całej trygonometrii Kambly’ego są dwie definicje, w których autor wyjaśnił, że trygonometria płaska jest częścią planimetrii i zajmuje się rozwiązywaniem trójkątów, a jako część trygonometrii wyróżnił poligonometrię, która wiąże się z rozwiązywaniem wielokątów.

Goniometria

Linie trygonometryczne i funkcje trygonometryczne
Goniometrię autor rozpoczął od zdefiniowania linii trygonometrycznych w kole. Umieścił w nim kąt środkowy ACB, a następnie z końca jednego z jego ramion poprowadził linię prostopadłą (BD) do drugiego (oba ramiona są promieniami koła) – ryc. 1.

Wówczas, zgodnie z oznaczeniami na rysunku, wprowadził następujące definicje: 

  • linia BD nazywa się linią sinusa kąta ACB,
  • odległość BD od środka koła, czyli linia DC, nazywa się linią cosinusa kąta ACB,
  • odległość BD od końca promienia CA, czyli linia AD, nazywa się Sinus-versus-Linie kąta ACB,
  • linia prostopadła do jednego z promieni koła, poprowadzona z końca tego promienia aż do przecięcia z przedłużeniem drugiego promienia (linia AE), nazywa się linią tangensa kąta ACB,
  • odległość środka koła od końca linii tangensa, czyli punktu E, nazywa się linią secansa kąta ACB (linia CE),
  • przez linię cotangensa, cosecansa oraz Cosinus-versus-Linie kąta ostrego rozumie się odpowiednio linię tangensa, secansa oraz Sinus-versus-Linie jego kąta dopełniającego, np. linia cosecansa kąta α jest równa linii secansa kąta α

jest równa linii secansa kąta (90° − α).

 

Następnie Kambly przechodzi do zdefiniowania funkcji trygonometrycznych. Mówi, że jeżeli rozważymy stosunek odpowiedniej linii trygonometrycznej kąta środkowego, tj. linii sinusa, cosinusa, tangensa, secansa, cotangensa, cosecansa, Sinus-versus-Linie oraz Cosinus-versus-Linie, z promieniem koła, w który ten kąt został wpisany, to otrzymamy odpowiednią funkcję trygonometryczną kąta środkowego: sinus, cosinus, tangens, secans, cotangens, cosecans, Sinus-versus oraz Cosinus-versus kąta. Dopiero 12 stron dalej, w momencie, gdy autor zaczyna zajmować się rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych, bazując na definicji funkcji trygonometrycznych w kole, wyjaśnia, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

W jednym z najpopularniejszych podręczników szkolnych używanych w XXI wieku: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników dla klas: 1, 2 oraz 3456 autorstwa M. Kurczaba, E. Kurczab oraz E. Świdy, ma miejsce sytuacja odwrotna – funkcje trygonometryczne najpierw definiowane są w trójkącie prostokątnym7, a dopiero później (w drugiej klasie szkoły średniej) uczniowie dowiadują się, iż wartości funkcji trygonometrycznych mają ciekawą interpretację na tzw. kole trygonometrycznym i analizują tę interpretację8.
Należy również podkreślić, że w XXI wieku uczniowie poznają jedynie cztery funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Na lekcjach nie omawia się: secansa, cosecansa kąta ani funkcji: Sinus-versus oraz Cosinus-versus.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

W dalszej części podręcznika Kambly uzależnia jedne funkcje trygonometryczne od innych. Wyprowadza tutaj podstawowe tożsamości trygonometryczne, takie jak:

  • \(tg\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\)
  • \(sec\alpha=\frac{1}{cos\alpha}\)
  • \(sin.vers.\alpha=1-cos\alpha\)
  • \(cos.vers.\alpha=1-sin\alpha\)
  • \(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\)
  • \(cosec\alpha=\sqrt{1+ctg^{2}\alpha}\)

oraz pokazuje, w jaki sposób wykorzystać te wzory w konkretnych sytuacjach liczbowych. Na przykład zakłada, że \(sinx=\frac{3}{5}\) , i korzystając z wyprowadzonych wcześniej wzorów, oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x.

Funkcje trygonometryczne kątów większych od 90°.

Następnie autor przechodzi do omówienia zbioru wartości każdej z funkcji trygonometrycznych, gdy kąty znajdują się pomiędzy 0° a 90°. Omawia też sposoby obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów większych od 90° (pojawia się tutaj termin kofunkcja). Dalej wyprowadza kolejne wzory trygonometryczne, np. na sinus sumy dwóch kątów, sinus kąta podwojonego, sinus kąta potrojonego, sinus różnicy dwóch kątów czy sinus kąta przeciwnego [tzn. sin(−x) = − sin x], oraz bardziej złożone, np.:

\(sinm+sinn=2sin\frac{m+n}{2}\cdot sin\frac{m-n}{2}\)

Analogiczne wzory wyprowadza dla cosinusów, tangensów i cotangensów.

Tabele logarytmiczno-trygonometryczne

Ostatni paragraf części goniometrycznej autor poświęcił opisaniu metod korzystania z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Tablice te były niezbędne w trakcie rozwiązywania zadań z trygonometrii płaskiej i przestrzennej, w tym zadań poświęconych m.in. rozwiązywaniu trójkątów.

W XIX wieku używano bardzo dokładnych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Były one obszerne, zazwyczaj kilkusetstronicowe. Przykładowo w XIX wieku w Gimnazjum Toruńskim wykorzystywano najpierw Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch (Poradnik logarytmiczno-trygonometryczny) G.F. Vegi9, a później, pod koniec tego stulecia, Vierstellige Logarithmentafeln nebst mathematischen, physikalischen und astronomischen Tabellen (Czterocyfrowe tabele logarytmiczne wraz z tabelami matematycznymi, fizycznymi i astronomicznymi) A. Schülkego10. W innych szkołach niemieckojęzycznych w XIX wieku używano przykładowo następujących tablic:

  • Fünfstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowe tabele logarytmiczne i trygonometryczne) O. Schlömilcha11 – w Gimnazjum w Halberstadt w latach 1898–191112,
      ...
    Spis treści Fünfstellige logarithmische 
    und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowych tabel logarytmicznych i trygonometrycznych) O. Schlömilcha11
     
    Strona
    Logarytmy Briggsa (czyli: logarytmy o podstawie 10; przyp. aut.) liczb naturalnych od 1 do 10909

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy