Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

25 czerwca 2018

NR 30 (Styczeń 2018)

Trygonometria płaska (cz. I)
W gimnazjalnym nauczaniu matematyki w XIX wieku - rozwiązywanie trójkątów kiedyś i dziś

1024

Trygonometria to słowo wywodzące się od greckich słów trigōnon „trójkąt” oraz metréō „mierzę”. Jest to dział matematyki poświęcony badaniu własności funkcji trygonometrycznych oraz ich wykorzystaniu w geometrii.

W XIX wieku na lekcjach matematyki funkcje trygonometryczne były używane przede wszystkim do rozwiązywania trójkątów płaskich (znajdujących się na płaszczyźnie) i sferycznych (umieszczonych na powierzchni kuli). Rozwiązywaniem trójkąta nazywano wówczas procedurę znajdowania długości wszystkich boków i miar wszystkich kątów trójkąta w oparciu o pewne dane wyjściowe.

POLECAMY

Trójkąty płaskie rozwiązywano na lekcjach matematyki we wszystkich dziewiętnastowiecznych szkołach średnich. W gimnazjach i szkołach typu realnego zadania te były na najwyższym poziomie trudności. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych było zarezerwowane niemalże wyłącznie dla szkół przygotowujących młodzież do studiów uniwersyteckich.

Rozważania umieszczone w niniejszym artykule będą skupione wokół trygonometrii płaskiej i rozwiązywania trójkątów płaskich. Zostaną omówione zagadnienia z trygonometrii płaskiej, umieszczone w jednym z najpopularniejszych podręczników do matematyki wykorzystywanych w gimnazjach funkcjonujących na ziemiach polskich zaboru pruskiego, czyli w podręczniku Die Elementar Mathematik (Matematyka elementarna) Ludwiga Kambly’ego1. Następnie będzie rozwiązane przykładowe zadanie z tego podręcznika dwiema metodami: z XIX i z XX wieku. Pojawi się też komentarz dotyczący rozwiązywania tego typu zadań w polskich szkołach w XXI wieku. Pozwoli to zaobserwować, jakich zmian na przestrzeni tych wieków dokonano w szkolnym sposobie rozwiązywania zadań typu „rozwiąż trójkąt płaski”.

Podręcznik Die Elementar Mathematik Ludwiga Kambly’ego składał się z czterech części: arytmetyczno-algebraicznej, planimetrycznej, trygonometrycznej oraz stereometrycznej. Każda część była oddzielną książką.

Trygonometria płaska w Die Elementar Mathematik L. Kambly’ego

Część trygonometryczna podręcznika Die Elementar Mathematik2 została podzielona na trzy główne rozdziały: goniometrię, trygonometrię płaską i trygonometrię sferyczną. Goniometria to dział trygonometrii zajmujący się badaniem własności funkcji trygonometrycznych3.

Wstępem do całej trygonometrii Kambly’ego są dwie definicje, w których autor wyjaśnił, że trygonometria płaska jest częścią planimetrii i zajmuje się rozwiązywaniem trójkątów, a jako część trygonometrii wyróżnił poligonometrię, która wiąże się z rozwiązywaniem wielokątów.

Goniometria

Linie trygonometryczne i funkcje trygonometryczne
Goniometrię autor rozpoczął od zdefiniowania linii trygonometrycznych w kole. Umieścił w nim kąt środkowy ACB, a następnie z końca jednego z jego ramion poprowadził linię prostopadłą (BD) do drugiego (oba ramiona są promieniami koła) – ryc. 1.

Wówczas, zgodnie z oznaczeniami na rysunku, wprowadził następujące definicje: 

  • linia BD nazywa się linią sinusa kąta ACB,
  • odległość BD od środka koła, czyli linia DC, nazywa się linią cosinusa kąta ACB,
  • odległość BD od końca promienia CA, czyli linia AD, nazywa się Sinus-versus-Linie kąta ACB,
  • linia prostopadła do jednego z promieni koła, poprowadzona z końca tego promienia aż do przecięcia z przedłużeniem drugiego promienia (linia AE), nazywa się linią tangensa kąta ACB,
  • odległość środka koła od końca linii tangensa, czyli punktu E, nazywa się linią secansa kąta ACB (linia CE),
  • przez linię cotangensa, cosecansa oraz Cosinus-versus-Linie kąta ostrego rozumie się odpowiednio linię tangensa, secansa oraz Sinus-versus-Linie jego kąta dopełniającego, np. linia cosecansa kąta α jest równa linii secansa kąta α

jest równa linii secansa kąta (90° − α).

 

Następnie Kambly przechodzi do zdefiniowania funkcji trygonometrycznych. Mówi, że jeżeli rozważymy stosunek odpowiedniej linii trygonometrycznej kąta środkowego, tj. linii sinusa, cosinusa, tangensa, secansa, cotangensa, cosecansa, Sinus-versus-Linie oraz Cosinus-versus-Linie, z promieniem koła, w który ten kąt został wpisany, to otrzymamy odpowiednią funkcję trygonometryczną kąta środkowego: sinus, cosinus, tangens, secans, cotangens, cosecans, Sinus-versus oraz Cosinus-versus kąta. Dopiero 12 stron dalej, w momencie, gdy autor zaczyna zajmować się rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych, bazując na definicji funkcji trygonometrycznych w kole, wyjaśnia, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

W jednym z najpopularniejszych podręczników szkolnych używanych w XXI wieku: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników dla klas: 1, 2 oraz 3456 autorstwa M. Kurczaba, E. Kurczab oraz E. Świdy, ma miejsce sytuacja odwrotna – funkcje trygonometryczne najpierw definiowane są w trójkącie prostokątnym7, a dopiero później (w drugiej klasie szkoły średniej) uczniowie dowiadują się, iż wartości funkcji trygonometrycznych mają ciekawą interpretację na tzw. kole trygonometrycznym i analizują tę interpretację8.
Należy również podkreślić, że w XXI wieku uczniowie poznają jedynie cztery funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Na lekcjach nie omawia się: secansa, cosecansa kąta ani funkcji: Sinus-versus oraz Cosinus-versus.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

W dalszej części podręcznika Kambly uzależnia jedne funkcje trygonometryczne od innych. Wyprowadza tutaj podstawowe tożsamości trygonometryczne, takie jak:

  • \(tg\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\)
  • \(sec\alpha=\frac{1}{cos\alpha}\)
  • \(sin.vers.\alpha=1-cos\alpha\)
  • \(cos.vers.\alpha=1-sin\alpha\)
  • \(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\)
  • \(cosec\alpha=\sqrt{1+ctg^{2}\alpha}\)

oraz pokazuje, w jaki sposób wykorzystać te wzory w konkretnych sytuacjach liczbowych. Na przykład zakłada, że \(sinx=\frac{3}{5}\) , i korzystając z wyprowadzonych wcześniej wzorów, oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x.

Funkcje trygonometryczne kątów większych od 90°.

Następnie autor przechodzi do omówienia zbioru wartości każdej z funkcji trygonometrycznych, gdy kąty znajdują się pomiędzy 0° a 90°. Omawia też sposoby obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów większych od 90° (pojawia się tutaj termin kofunkcja). Dalej wyprowadza kolejne wzory trygonometryczne, np. na sinus sumy dwóch kątów, sinus kąta podwojonego, sinus kąta potrojonego, sinus różnicy dwóch kątów czy sinus kąta przeciwnego [tzn. sin(−x) = − sin x], oraz bardziej złożone, np.:

\(sinm+sinn=2sin\frac{m+n}{2}\cdot sin\frac{m-n}{2}\)

Analogiczne wzory wyprowadza dla cosinusów, tangensów i cotangensów.

Tabele logarytmiczno-trygonometryczne

Ostatni paragraf części goniometrycznej autor poświęcił opisaniu metod korzystania z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Tablice te były niezbędne w trakcie rozwiązywania zadań z trygonometrii płaskiej i przestrzennej, w tym zadań poświęconych m.in. rozwiązywaniu trójkątów.

W XIX wieku używano bardzo dokładnych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Były one obszerne, zazwyczaj kilkusetstronicowe. Przykładowo w XIX wieku w Gimnazjum Toruńskim wykorzystywano najpierw Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch (Poradnik logarytmiczno-trygonometryczny) G.F. Vegi9, a później, pod koniec tego stulecia, Vierstellige Logarithmentafeln nebst mathematischen, physikalischen und astronomischen Tabellen (Czterocyfrowe tabele logarytmiczne wraz z tabelami matematycznymi, fizycznymi i astronomicznymi) A. Schülkego10. W innych szkołach niemieckojęzycznych w XIX wieku używano przykładowo następujących tablic:

  • Fünfstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowe tabele logarytmiczne i trygonometryczne) O. Schlömilcha11 – w Gimnazjum w Halberstadt w latach 1898–191112,
     
    Spis treści Fünfstellige logarithmische 
    und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowych tabel logarytmicznych i trygonometrycznych) O. Schlömilcha11
     
    Strona
    Logarytmy Briggsa (czyli: logarytmy o podstawie 10; przyp. aut.) liczb naturalnych od 1 do 10909 1
    Tablice przekształcania logarytmów Briggsa w logarytmy naturalne 35
    Logarytmy Briggsa i logarytmy naturalne liczb często używanych 35
    Długość łuku okręgu dla każdego stopnia, każdej minuty i każdej sekundy oraz promienia równego 1 39
    Funkcje goniometryczne kątów w odstępach 10-minutowych 43
    Logarytmy funkcji goniometrycznych kątów w odstępach 1-minutowych 54
    Odwrotności liczb, pierwiastki kwadratowe i sześcienne oraz logarytmy naturalne liczb od 1 do 100 147
    Ćwiartki elipsy (tabele pozwalające obliczyć ćwierć obwodu elipsy, której jedna półoś jest równa 1, a druga zmienia swoją długość od 0 do 0,99 w odstępach: 0,01; przyp. aut.). 150
    Stałe fizyczne i chemiczne 155

     
  • Jerome de la Lande’s logarithmisch-trigonometrische Tafeln (Tabele logarytmiczno-trygonometryczne Jerome’a de la Lande’a) H.G. Köhlera13 – w Szkole Realnej I stopnia i Gimnazjum w Barmen w latach: 1865/1866, 1867–1870 i 1872–187514,
  • Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit Sechs Decimalstellen (Sześciocyfrowe tabele logarytmiczno trygonometryczne) C. Bremikera15 – w Gimnazjum w Krotoszynie w latach: 1887/1888, 1889–1891, 1895–1899, 1900/1901, 1902/1903, 1904/190516.

W tab. 1 został umieszczony spis treści jednej z wyżej wymienionych pozycji. Pozwala to zapoznać się z materiałem umieszczanym w dziewiętnastowiecznych tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych.

Przeglądając powyższy spis treści, można zauważyć, że najobszerniejszą część tablic stanowiły logarytmy funkcji goniometrycznych (inaczej trygonometrycznych) kątów w odstępach 1-minutowych. Kambly w swoim podręczniku wyjaśnił, że w tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych umieszczano jedynie logarytmy czterech funkcji: sinus, cosinus, tangens i cotangens, bo one były najczęściej używane. Logarytm secansa i cosecansa można było wówczas łatwo wyznaczyć w oparciu o wartości umieszczone w tablicach: logarytm secansa jest równy minus logarytm sinusa, a logarytm cosecansa minus logarytm cosinusa17. Ponadto w związku z tym, że sinusy 
i cosinusy wszystkich kątów, a także tangensy kątów mniejszych od 45° i cotangensy ich kątów dopełniających mają wartości ułamkowe (mniejsze od 1), czyli ich logarytmy mają ujemne znaki, a wstawianie „minusów” zaburzyłoby czytelność tablic, to do wszystkich tych logarytmów w tablicach dodawano liczbę 10. Zatem, aby w takim przypadku wyznaczyć rzeczywistą wartość logarytmu, należało od wartości odczytanej z tablic odjąć 10, np. w tablicach logsin23° ma przypisaną (przybliżoną) wartość 9,5918780, zatem rzeczy-
wista wartość logsin 23° jest równa w przybliżeniu 9,5918780 − 1017. Autor opisuje też tutaj metodę interpolacji liniowej, służącą do obliczania kątów i logarytmów, których wartości nie zostały umieszczone w tablicach, przy wykorzystaniu wartości w nich podanych. Na tym kończy się część goniometryczna. Kambly przechodzi do trygonometrii płaskiej.

Trygonometria płaska -Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Trygonometrię płaską Kambly rozpoczyna od rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Najpierw mówi, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów ostrych trójkąta prostokątnego, np. cotangens jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do rozważanego kąta i przyprostokątnej do niego przeciwległej, a po tym krótkim wstępie przechodzi do omówienia metod rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Analizuje sytuację, w której dany jest jeden bok i jeden kąt trójkąta, po czym rozwiązuje trójkąt prostokątny, zakładając, że zna jego dwa boki. Opisuje tutaj sposoby rozumowania, które powinny być przeprowadzone w obu tych przypadkach, a następnie wciela je w życie, podając przykłady. Jeden z tych przykładów zostanie tutaj przytoczony ze względu na to, że kąty rozważane w podręczniku Kambly’ego są podane z dokładnością do sekund, co w podręcznikach z XXI wieku zdarza się niezwykle rzadko. Dodatkowo ciekawostkę stanowi tutaj sposób wykorzystania funkcji logarytmiczno-trygonometrycznych. W przykładzie tym zostaną zachowane oryginalne oznaczenia i sposób zapisu.

Zadanie18
Niech dana będzie przyprostokątna \(a=78^{m}\) trójkąta prostokątnego oraz jeden z jego kątów ostrych:\( ∠ A = 62°9'41''\). Znajdź drugi kąt ostry i pozostałe boki tego trójkąta (\(a=78^{m}\) oznacza, że przyprostokątna a ma długość 78 metrów; taka notacja była stosowana przez Kambly’ego we wszystkich częściach podręcznika Die Elementar Mathematik; miano zawsze zapisywał w indeksie górnym po prawej stronie liczby).

Rozwiązanie19
W natychmiastowy sposób można wyliczyć, że:
\(∠ B = 27°50'19''\)

oraz

\(c=\frac{78^{m}}{sin62^{\circ}9'41''}\)

zatem:

(zamiast od odjemnika odjąć 10, do odjemnej dodaliśmy 10), 
dlatego\( c = 88,2087^{m}\).

Ostatecznie mamy, że:

W powyższym rozwiązaniu wartości: log 78, logsin 62°9'41'' oraz logcot 62°9'41'' odczytano z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. W Logarithmisch-trigono-metrisches Handbuch (Poradniku logarytmiczno-trygonometrycznym) G.F. Vegi9 na
s. 2 można znaleźć wartość log78 (ryc. 2).

Dalej, korzystając z danych umieszczonych na s. 251: logsin 62°9' wartości oraz przyrostu tej wartości, wraz ze wzrostem kąta o 1'', obliczono logsin 62°9'41'' (ryc. 3).

Mianowicie:
\(logsin 62°9'41'' = 9,9465376 + 41∙ 0,000001112 = = 9,946583192 ≈ 9,9465832\)

Korzystając z tej samej tabeli, można obliczyć również:

\(logcot 62°9'41'' = 9,7229266 − 41 ∙ 0,000005099 = 9,722717541 ≈ 9,7227175.\)

Aby znaleźć liczbę c taką, że log c = = 1,9455114, wykorzystywano tablice logarytmów liczb naturalnych. W tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych G.F. Vegi9, w kolumnach z logarytmami kolejnych liczb naturalnych, nie było wartości 1,9455114. Tym samym liczbę, której logarytm wynosił 1,9455114, należało znaleźć metodą interpolacji – bazowała ona na założeniu, że przyrost liczby jestproporcjonalny do przyrostu logarytmu.

Bazując na danych umieszczonych w tablicach Vegi na s. 2 (ryc. 4) mamy: 1,9444827 < 1,9255114 < 1,9493900, czyli: log 88 < log c < log 89, a tym samym: 88 < c < 89.

Dalej, zakładając, iż przyrost liczby jest proporcjonalny do przyrostu logarytmu, otrzymujemy, że: c = 88 + 0,2096 ∙ 1 = 
= 88,2096 (przypomnijmy, że Kambly uzyskał rezultat: 88,2087; ta niewielka różnica wynikała zapewne z niedokładności obliczeń). Podobnie można znaleźć liczbę b, dla której: log b = 1,6148121.W dalszej części podręcznika Kambly rozwiązuje między innymi następujące zadanie: Znając pole powierzchni (F) trójkąta prostokątnego oraz jeden z jego kątów ostrych (A), znajdź obie przyprostokątne (a oraz b)20. Następnie przechodzi do rozwiązywania trójkątów równoramiennych i mówi, w jaki sposób przeprowadzone rozumowania można wykorzystać do rozwiązywania wielokątów foremnych.

Rozwiązywanie trójkątów różnobocznych

Najwięcej uwagi Kambly poświęca metodom rozwiązywania trójkątów różnobocznych. Jako wprowadzenie do tego zagadnienia udowadnia twierdzenie sinusów, twierdzenie tangensów oraz twierdzenie cosinusów. Pokazuje, w jaki sposób wykorzystać twierdzenie sinusów...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy