Trygonometria płaska (cz. I)

W XIX wieku na lekcjach matematyki funkcje trygonometryczne były używane przede wszystkim do rozwiązywania trójkątów płaskich (znajdujących się na płaszczyźnie) i sferycznych (umieszczonych na powierzchni kuli). Rozwiązywaniem trójkąta nazywano wówczas procedurę znajdowania długości wszystkich boków i miar wszystkich kątów trójkąta w oparciu o pewne dane wyjściowe.

Trójkąty płaskie rozwiązywano na lekcjach matematyki we wszystkich dziewiętnastowiecznych szkołach średnich. W gimnazjach i szkołach typu realnego zadania te były na najwyższym poziomie trudności. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych było zarezerwowane niemalże wyłącznie dla szkół przygotowujących młodzież do studiów uniwersyteckich.

Rozważania umieszczone w niniejszym artykule będą skupione wokół trygonometrii płaskiej i rozwiązywania trójkątów płaskich. Zostaną omówione zagadnienia z trygonometrii płaskiej, umieszczone w jednym z najpopularniejszych podręczników do matematyki wykorzystywanych w gimnazjach funkcjonujących na ziemiach polskich zaboru pruskiego, czyli w podręczniku Die Elementar Mathematik (Matematyka elementarna) Ludwiga Kambly’ego¹. Następnie będzie rozwiązane przykładowe zadanie z tego podręcznika dwiema metodami: z XIX i z XX wieku. Pojawi się też komentarz dotyczący rozwiązywania tego typu zadań w polskich szkołach w XXI wieku. Pozwoli to zaobserwować, jakich zmian na przestrzeni tych wieków dokonano w szkolnym sposobie rozwiązywania zadań typu „rozwiąż trójkąt płaski”.

Podręcznik Die Elementar Mathematik Ludwiga Kambly’ego składał się z czterech części: arytmetyczno-algebraicznej, planimetrycznej, trygonometrycznej oraz stereometrycznej. Każda część była oddzielną książką.

Trygonometria płaska w Die Elementar Mathematik L. Kambly’ego

Część trygonometryczna podręcznika Die Elementar Mathematik² została podzielona na trzy główne rozdziały: goniometrię, trygonometrię płaską i trygonometrię sferyczną. Goniometria to dział trygonometrii zajmujący się badaniem własności funkcji trygonometrycznych³.

Wstępem do całej trygonometrii Kambly’ego są dwie definicje, w których autor wyjaśnił, że trygonometria płaska jest częścią planimetrii i zajmuje się rozwiązywaniem trójkątów, a jako część trygonometrii wyróżnił poligonometrię, która wiąże się z rozwiązywaniem wielokątów.

Goniometria

Linie trygonometryczne i funkcje trygonometryczne
Goniometrię autor rozpoczął od zdefiniowania linii trygonometrycznych w kole. Umieścił w nim kąt środkowy ACB, a następnie z końca jednego z jego ramion poprowadził linię prostopadłą (BD) do drugiego (oba ramiona są promieniami koła) – ryc. 1.

Wówczas, zgodnie z oznaczeniami na rysunku, wprowadził następujące definicje: 

• linia BD nazywa się linią sinusa kąta ACB,
• odległość BD od środka koła, czyli linia DC, nazywa się linią cosinusa kąta ACB,
• odległość BD od końca promienia CA, czyli linia AD, nazywa się Sinus-versus-Linie kąta ACB,
• linia prostopadła do jednego z promieni koła, poprowadzona z końca tego promienia aż do przecięcia z przedłużeniem drugiego promienia (linia AE), nazywa się linią tangensa kąta ACB,
• odległość środka koła od końca linii tangensa, czyli punktu E, nazywa się linią secansa kąta ACB (linia CE),
• przez linię cotangensa, cosecansa oraz Cosinus-versus-Linie kąta ostrego rozumie się odpowiednio linię tangensa, secansa oraz Sinus-versus-Linie jego kąta dopełniającego, np. linia cosecansa kąta α jest równa linii secansa kąta α

jest równa linii secansa kąta (90° − α).

Następnie Kambly przechodzi do zdefiniowania funkcji trygonometrycznych. Mówi, że jeżeli rozważymy stosunek odpowiedniej linii trygonometrycznej kąta środkowego, tj. linii sinusa, cosinusa, tangensa, secansa, cotangensa, cosecansa, Sinus-versus-Linie oraz Cosinus-versus-Linie, z promieniem koła, w który ten kąt został wpisany, to otrzymamy odpowiednią funkcję trygonometryczną kąta środkowego: sinus, cosinus, tangens, secans, cotangens, cosecans, Sinus-versus oraz Cosinus-versus kąta. Dopiero 12 stron dalej, w momencie, gdy autor zaczyna zajmować się rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych, bazując na definicji funkcji trygonometrycznych w kole, wyjaśnia, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

W jednym z najpopularniejszych podręczników szkolnych używanych w XXI wieku: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników dla klas: 1, 2 oraz 3⁴⁵⁶ autorstwa M. Kurczaba, E. Kurczab oraz E. Świdy, ma miejsce sytuacja odwrotna – funkcje trygonometryczne najpierw definiowane są w trójkącie prostokątnym⁷, a dopiero później (w drugiej klasie szkoły średniej) uczniowie dowiadują się, iż wartości funkcji trygonometrycznych mają ciekawą interpretację na tzw. kole trygonometrycznym i analizują tę interpretację⁸.
Należy również podkreślić, że w XXI wieku uczniowie poznają jedynie cztery funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Na lekcjach nie omawia się: secansa, cosecansa kąta ani funkcji: Sinus-versus oraz Cosinus-versus.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

W dalszej części podręcznika Kambly uzależnia jedne funkcje trygonometryczne od innych. Wyprowadza tutaj podstawowe tożsamości trygonometryczne, takie jak:

• \(tg\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\)
• \(sec\alpha=\frac{1}{cos\alpha}\)
• \(sin.vers.\alpha=1-cos\alpha\)
• \(cos.vers.\alpha=1-sin\alpha\)
• \(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\)
• \(cosec\alpha=\sqrt{1+ctg^{2}\alpha}\)

oraz pokazuje, w jaki sposób wykorzystać te wzory w konkretnych sytuacjach liczbowych. Na przykład zakłada, że \(sinx=\frac{3}{5}\) , i korzystając z wyprowadzonych wcześniej wzorów, oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x.

Funkcje trygonometryczne kątów większych od 90°.

Następnie autor przechodzi do omówienia zbioru wartości każdej z funkcji trygonometrycznych, gdy kąty znajdują się pomiędzy 0° a 90°. Omawia też sposoby obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów większych od 90° (pojawia się tutaj termin kofunkcja). Dalej wyprowadza kolejne wzory trygonometryczne, np. na sinus sumy dwóch kątów, sinus kąta podwojonego, sinus kąta potrojonego, sinus różnicy dwóch kątów czy sinus kąta przeciwnego [tzn. sin(−x) = − sin x], oraz bardziej złożone, np.:

\(sinm+sinn=2sin\frac{m+n}{2}\cdot sin\frac{m-n}{2}\)

Analogiczne wzory wyprowadza dla cosinusów, tangensów i cotangensów.

Tabele logarytmiczno-trygonometryczne

Ostatni paragraf części goniometrycznej autor poświęcił opisaniu metod korzystania z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Tablice te były niezbędne w trakcie rozwiązywania zadań z trygonometrii płaskiej i przestrzennej, w tym zadań poświęconych m.in. rozwiązywaniu trójkątów.

W XIX wieku używano bardzo dokładnych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Były one obszerne, zazwyczaj kilkusetstronicowe. Przykładowo w XIX wieku w Gimnazjum Toruńskim wykorzystywano najpierw Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch (Poradnik logarytmiczno-trygonometryczny) G.F. Vegi⁹, a później, pod koniec tego stulecia, Vierstellige Logarithmentafeln nebst mathematischen, physikalischen und astronomischen Tabellen (Czterocyfrowe tabele logarytmiczne wraz z tabelami matematycznymi, fizycznymi i astronomicznymi) A. Schülkego¹⁰. W innych szkołach niemieckojęzycznych w XIX wieku używano przykładowo następujących tablic:

• Fünfstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowe tabele logarytmiczne i trygonometryczne) O. Schlömilcha¹¹ – w Gimnazjum w Halberstadt w latach 1898–1911¹²,
   

  Spis treści Fünfstellige logarithmische  und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowych tabel logarytmicznych i trygonometrycznych) O. Schlömilcha11	Strona
  Logarytmy Briggsa (czyli: logarytmy o podstawie 10; przyp. aut.) liczb naturalnych od 1 do 10909	1
  Tablice przekształcania logarytmów Briggsa w logarytmy naturalne	35
  Logarytmy Briggsa i logarytmy naturalne liczb często używanych	35
  Długość łuku okręgu dla każdego stopnia, każdej minuty i każdej sekundy oraz promienia równego 1	39
  Funkcje goniometryczne kątów w odstępach 10-minutowych	43
  Logarytmy funkcji goniometrycznych kątów w odstępach 1-minutowych	54
  Odwrotności liczb, pierwiastki kwadratowe i sześcienne oraz logarytmy naturalne liczb od 1 do 100	147
  Ćwiartki elipsy (tabele pozwalające obliczyć ćwierć obwodu elipsy, której jedna półoś jest równa 1, a druga zmienia swoją długość od 0 do 0,99 w odstępach: 0,01; przyp. aut.).	150
  Stałe fizyczne i chemiczne	155

  
   
• Jerome de la Lande’s logarithmisch-trigonometrische Tafeln (Tabele logarytmiczno-trygonometryczne Jerome’a de la Lande’a) H.G. Köhlera¹³ – w Szkole Realnej I stopnia i Gimnazjum w Barmen w latach: 1865/1866, 1867–1870 i 1872–1875¹⁴,
• Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit Sechs Decimalstellen (Sześciocyfrowe tabele logarytmiczno trygonometryczne) C. Bremikera¹⁵ – w Gimnazjum w Krotoszynie w latach: 1887/1888, 1889–1891, 1895–1899, 1900/1901, 1902/1903, 1904/1905¹⁶.

W tab. 1 został umieszczony spis treści jednej z wyżej wymienionych pozycji. Pozwala to zapoznać się z materiałem umieszczanym w dziewiętnastowiecznych tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych.

Przeglądając powyższy spis treści, można zauważyć, że najobszerniejszą część tablic stanowiły logarytmy funkcji goniometrycznych (inaczej trygonometrycznych) kątów w odstępach 1-minutowych. Kambly w swoim podręczniku wyjaśnił, że w tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych umieszczano jedynie logarytmy czterech funkcji: sinus, cosinus, tangens i cotangens, bo one były najczęściej używane. Logarytm secansa i cosecansa można było wówczas łatwo wyznaczyć w oparciu o wartości umieszczone w tablicach: logarytm secansa jest równy minus logarytm sinusa, a logarytm cosecansa minus logarytm cosinusa¹⁷. Ponadto w związku z tym, że sinusy 
i cosinusy wszystkich kątów, a także tangensy kątów mniejszych od 45° i cotangensy ich kątów dopełniających mają wartości ułamkowe (mniejsze od 1), czyli ich logarytmy mają ujemne znaki, a wstawianie „minusów” zaburzyłoby czytelność tablic, to do wszystkich tych logarytmów w tablicach dodawano liczbę 10. Zatem, aby w takim przypadku wyznaczyć rzeczywistą wartość logarytmu, należało od wartości odczytanej z tablic odjąć 10, np. w tablicach logsin23° ma przypisaną (przybliżoną) wartość 9,5918780, zatem rzeczy-
wista wartość logsin 23° jest równa w przybliżeniu 9,5918780 − 1017. Autor opisuje też tutaj metodę interpolacji liniowej, służącą do obliczania kątów i logarytmów, których wartości nie zostały umieszczone w tablicach, przy wykorzystaniu wartości w nich podanych. Na tym kończy się część goniometryczna. Kambly przechodzi do trygonometrii płaskiej.

Trygonometria płaska -Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Trygonometrię płaską Kambly rozpoczyna od rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Najpierw mówi, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów ostrych trójkąta prostokątnego, np. cotangens jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do rozważanego kąta i przyprostokątnej do niego przeciwległej, a po tym krótkim wstępie przechodzi do omówienia metod rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Analizuje sytuację, w której dany jest jeden bok i jeden kąt trójkąta, po czym rozwiązuje trójkąt prostokątny, zakładając, że zna jego dwa boki. Opisuje tutaj sposoby rozumowania, które powinny być przeprowadzone w obu tych przypadkach, a następnie wciela je w życie, podając przykłady. Jeden z tych przykładów zostanie tutaj przytoczony ze względu na to, że kąty rozważane w podręczniku Kambly’ego są podane z dokładnością do sekund, co w podręcznikach z XXI wieku zdarza się niezwykle rzadko. Dodatkowo ciekawostkę stanowi tutaj sposób wykorzystania funkcji logarytmiczno-trygonometrycznych. W przykładzie tym zostaną zachowane oryginalne oznaczenia i sposób zapisu.

Zadanie¹⁸
Niech dana będzie przyprostokątna \(a=78^{m}\) trójkąta prostokątnego oraz jeden z jego kątów ostrych:\( ∠ A = 62°9'41''\). Znajdź drugi kąt ostry i pozostałe boki tego trójkąta (\(a=78^{m}\) oznacza, że przyprostokątna a ma długość 78 metrów; taka notacja była stosowana przez Kambly’ego we wszystkich częściach podręcznika Die Elementar Mathematik; miano zawsze zapisywał w indeksie górnym po prawej stronie liczby).

Rozwiązanie¹⁹
W natychmiastowy sposób można wyliczyć, że:
\(∠ B = 27°50'19''\)

oraz

\(c=\frac{78^{m}}{sin62^{\circ}9'41''}\)

zatem:

(zamiast od odjemnika odjąć 10, do odjemnej dodaliśmy 10), 
dlatego\( c = 88,2087^{m}\).

Ostatecznie mamy, że:

W powyższym rozwiązaniu wartości: log 78, logsin 62°9'41'' oraz logcot 62°9'41'' odczytano z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. W Logarithmisch-trigono-metrisches Handbuch (Poradniku logarytmiczno-trygonometrycznym) G.F. Vegi9 na
s. 2 można znaleźć wartość log78 (ryc. 2).

Dalej, korzystając z danych umieszczonych na s. 251: logsin 62°9' wartości oraz przyrostu tej wartości, wraz ze wzrostem kąta o 1'', obliczono logsin 62°9'41'' (ryc. 3).

Mianowicie:
\(logsin 62°9'41'' = 9,9465376 + 41∙ 0,000001112 = = 9,946583192 ≈ 9,9465832\)

Korzystając z tej samej tabeli, można obliczyć również:

\(logcot 62°9'41'' = 9,7229266 − 41 ∙ 0,000005099 = 9,722717541 ≈ 9,7227175.\)

Aby znaleźć liczbę c taką, że log c = = 1,9455114, wykorzystywano tablice logarytmów liczb naturalnych. W tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych G.F. Vegi9, w kolumnach z logarytmami kolejnych liczb naturalnych, nie było wartości 1,9455114. Tym samym liczbę, której logarytm wynosił 1,9455114, należało znaleźć metodą interpolacji – bazowała ona na założeniu, że przyrost liczby jestproporcjonalny do przyrostu logarytmu.

Bazując na danych umieszczonych w tablicach Vegi na s. 2 (ryc. 4) mamy: 1,9444827 < 1,9255114 < 1,9493900, czyli: log 88 < log c < log 89, a tym samym: 88 < c < 89.

Dalej, zakładając, iż przyrost liczby jest proporcjonalny do przyrostu logarytmu, otrzymujemy, że: c = 88 + 0,2096 ∙ 1 = 
= 88,2096 (przypomnijmy, że Kambly uzyskał rezultat: 88,2087; ta niewielka różnica wynikała zapewne z niedokładności obliczeń). Podobnie można znaleźć liczbę b, dla której: log b = 1,6148121.W dalszej części podręcznika Kambly rozwiązuje między innymi następujące zadanie: Znając pole powierzchni (F) trójkąta prostokątnego oraz jeden z jego kątów ostrych (A), znajdź obie przyprostokątne (a oraz b)²⁰. Następnie przechodzi do rozwiązywania trójkątów równoramiennych i mówi, w jaki sposób przeprowadzone rozumowania można wykorzystać do rozwiązywania wielokątów foremnych.

Rozwiązywanie trójkątów różnobocznych

Najwięcej uwagi Kambly poświęca metodom rozwiązywania trójkątów różnobocznych. Jako wprowadzenie do tego zagadnienia udowadnia twierdzenie sinusów, twierdzenie tangensów oraz twierdzenie cosinusów. Pokazuje, w jaki sposób wykorzystać twierdzenie sinusów do rozwiązywania trójkąta, w którym dany jest bok i dwa kąty albo gdy dane są dwa boki oraz kąt leżący naprzeciw większego z nich. Prezentuje sposób zastosowania twierdzenia tangensów do rozwiązania trójkąta, gdy znane są jego dwa boki i kąt między nimi zawarty, czy też sposób wykorzystania twierdzenia cosinusów do znalezienia kątów trójkąta, znając uprzednio wszystkie jego boki.

Za chwilę przytoczymy przykładowe zadanie (wraz z rozwiązaniem) z podręcznika Kambly’ego, które będzie dotyczyło rozwiązywania trójkątów różnobocznych. Zanim jednak to zrobimy, zatrzymajmy się na chwilę przy twierdzeniu sinusów. Kambly podaje je w pokazanej poniżej postaci.

Twierdzenie²¹
W każdym trójkącie boki mają się do siebie tak, jak sinusy kątów przeciwległych tym bokom.

\(a : b : c = sin A : sin B : sin C \)

W podręcznikach szkolnych z XIX wieku można znaleźć różne dowody tego twierdzenia. Sam Kambly twierdzenie sinusów udowodnił na dwa sposoby. Pierwszy opierał się na definicji sinusa kąta w trójkącie prostokątnym, w drugim – autor opisuje koło na trójkącie, łączy jego środek z wierzchołkami trójkąta, później wykorzystuje własności kątów środkowych i wpisanych, aż w końcu definicję sinusa w kole trygonometrycznym. Mianowicie:

Dowód1²²

W trójkącie ABC poprowadźmy wysokość  CD, wów-
czas CD jest równa zarówno \(a ∙ sin B\), jak i \(b ∙ sin A\), zatem: 
\(a ∙ sin B = b ∙ sin A\), stąd \(a : b = sin A : sin B\)

Poprowadźmy teraz wysokość AE, wówczas w ten sam sposób otrzymujemy, że:

\(b : c = sin B : sin C\)

Ponadto

\(a : c = sin A : sin C.\)

Gdy trójkąt jest rozwartokątny, to wysokości poprowadzone z kątów ostrych znajdują się na zewnątrz trójkąta; w żaden sposób nie zmienia to dowodu, ponieważ linia sinusa kąta rozwartego jest równa linii sinusa kąta do niego przyległego.

Dowód 2²³: Na trójkącie ABC opisujemy koło (jego promień oznaczamy r), a następnie wierzchołki trójkąta łączymy ze środkiem tego koła. 

Stąd otrzymujemy:
\(a : b : c = \frac{a}{2}:\frac{b}{2}:\frac{c}{2}\),

ponieważ \( \frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}\)  są liniami sinusów połowy kątów środkowych albo całych kątów wpisanych. 

Zatem:
\(a : b : c = r ∙ sin A : r ∙ sin B : r ∙ sin C\),

czyli
\(a : b : c = sin A : sin B : sin C\).

Przytoczone wyżej dowody są dokładnym odzwierciedleniem dowodów przeprowadzonych przez Kambly’ego (autor nie umieścił rysunków, które pozwoliłyby lepiej zrozumieć przeprowadzone rozumowania).

Inne dowody twierdzenia sinusów można znaleźć m.in. w następujących podręcznikach szkolnych wydanych w XIX wieku:
W podręczniku Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an Gymnasien und Realschulen (Podstawowe twierdzenia matematyki elementarnej do wykorzystania w gimnazjach i szkołach realnych) F.G. Mehlera²⁴ znajduje się następujące rozumowanie dowodowe:

Twierdzenie²⁵
Boki trójkąta podzielone przez sinusy kątów leżących naprzeciwko tych boków dają równe ilorazy, każdy 
z tych ilorazów jest równy średnicy koła opisanego na tym trójkącie.

Rozumowanie dowodowe²⁶
Niech dany będzie trójkąt  ABC. Załóżmy, że a, b, c są jego bokami oraz α, β, γ – kątami leżącymi naprzeciwko tych boków. Ponadto niech d będzie średnicą BD koła opisanego na tym trójkącie (ryc. 6).
Wówczas \(∠BDC = α \)
oraz \(BCD=\frac{1}{2}\pi\), 
stąd: \(sin\alpha=\frac{a}{d}\), czyli \(d=\frac{a}{sin\alpha}\)

Podobnie otrzymujemy, że:

\(d=\frac{b}{sin\beta}\) oraz \(d=\frac{c}{sin\gamma}\)

Zatem:  \(\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=d\)

Nieco inne sformułowanie twierdzenia sinusów można znaleźć w podręczniku: Die Elemente der Mathematik, cz. II: Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie (Elementy matematyki, cz. II: Planimetria, stereometria, trygonometria) R. Baltzera²⁷. Jest ono następujące:

Twierdzenie²⁸
Boki trójkąta mają się do siebie jak sinusy kątów leżących naprzeciwko tych boków. Boki podzielone przez sinusy kątów leżących naprzeciwko tych boków dają równe ilorazy, każdy z tych ilorazów jest równy zarówno ilorazowi iloczynu boków trójkąta oraz podwojonego pola powierzchni tego trójkąta, jak i średnicy koła opisanego na tym trójkącie (ryc. 7).

Dowód²⁹
Zauważmy, że:

\(\frac{|DC|}{|BC|}=sinCBA\),\(\frac{|DC|}{|CA|}=sinBAC\)

Stąd:
\(CA : BC = sin CBA : sin BAC\), itd.

Teraz boki BC, CA i AB oznaczmy odpowiednio: a, b, c, 
kąty przeciwległe tym bokom: α, β, γ, pole trójkąta oznaczmy Δ oraz promień koła opisanego na trójkącie  – r. 
Wówczas, korzystając z twierdzenia: Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu dwóch boków tego trójkąta oraz sinusa kąta zawartego pomiędzy tymi bokami, otrzymujemy, że:

\(2Δ = bc sin α = ca sin β = ab sin γ\)
stąd:

\(\frac{abc}{2\Delta }=\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2r\)

Ostatnia równość wynika z tego, że cięciwy a, b, c znajdują się naprzeciwko kątów wpisanych: α, β, γ. Wyjaśnijmy to dokładniej: przykładowo rozważmy bok a (BC) oraz kąt α (kąt BAC). Zauważmy, że kąt BAC jest kątem wpisanym, a kąt BMC kątem środkowym i oba te kąty są oparte na tym samym łuku BC. Stąd kąt BMC jest dwa razy większy od kąta BAC. Poprowadźmy teraz ze środka okręgu opisanego prostopadłą do boku BC, jej punkt przecięcia z tym bokiem oznaczmy E. 
Wówczas:

\(EC = EB = BC \)

Ponadto prostopadła ta podzieli kąt BMC na połowę, ponieważ trójkąt BMC jest równoramienny. Stąd kąt CME jest równy kątowi BAC. Czyli z definicji sinusa otrzymujemy, że: 

\(sin\alpha=\frac{\frac{1}{2}a}{r}\), stąd \(\frac{a}{sin\alpha}=2r\)

W artykule Nauczanie trygonometrii w polskich szkołach średnich. Rys historyczny K. Wuczyńskiej³⁰ omówione zostały różne sposoby dowodzenia twierdzenia sinusów, które znajdowały się w podręcznikach stosowanych w polskich szkołach średnich w XIX wieku. Wśród metod omówionych przez Wuczyńską nie było metody umieszczonej w Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an Gymnasien und Realschulen F.G. Mehlera.

W dalszej części trygonometrii płaskiej Kambly przechodzi do obliczania pól trójkątów. Robi to na różne sposoby, m.in. mówi, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu dwóch jego boków i sinusa kąta leżącego między nimi. Wyprowadza też wzór Herona.

Dodatek do trygonometrii płaskiej

Zakończenie części poświęconej trygonometrii płaskiej sta-
nowi dodatek, w którym Kambly najpierw wymienił 31 wzo-
rów wyprowadzonych przez niego w części goniometrycznej, a następnie wypisał 16 wzorów będących prostymi konsekwencjami wcześniejszych (nie dowodzi tych wzorów). Dalej podał 17 twierdzeń opisujących zależności między:

• kątami trójkątów,
• bokami i kątami trójkątów,
• kątami i obwodem trójkąta,
• kątami i promieniami okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie.

Wszystkie twierdzenia wzbogacił o szkice dowodów. Rozwiązał też dziewięć zadań dotyczących rozwiązywania trójkątów prostokątnych i równoramiennych oraz 22 zadania poświęcone rozwiązywaniu trójkątów różnobocznych. Na końcu umieścił listę 35 zadań do samodzielnego rozwiązania przez uczniów. Wśród nich można znaleźć następujące zadania:
Zadanie³¹: Rozwiąż trójkąt, gdy znany jest jeden z jego boków, wysokość opuszczona na ten bok oraz stosunek dwóch pozostałych boków.
Zadanie³²: Rozwiąż trójkąt, gdy znany jest stosunek dwóch jego boków, kąt zawarty między tymi bokami oraz wysokość poprowadzona z wierzchołka tego kąta.
Zadanie³³: Rozwiąż trójkąt, gdy znany jest jeden z jego kątów, suma boków przyległych do tego kąta oraz suma kwadratów tych boków.