Dołącz do czytelników
Brak wyników

Matematyka inaczej

25 czerwca 2018

NR 30 (Styczeń 2018)

Trygonometria płaska (cz. I)
W gimnazjalnym nauczaniu matematyki w XIX wieku - rozwiązywanie trójkątów kiedyś i dziś

0 338

Trygonometria to słowo wywodzące się od greckich słów trigōnon „trójkąt” oraz metréō „mierzę”. Jest to dział matematyki poświęcony badaniu własności funkcji trygonometrycznych oraz ich wykorzystaniu w geometrii.

W XIX wieku na lekcjach matematyki funkcje trygonometryczne były używane przede wszystkim do rozwiązywania trójkątów płaskich (znajdujących się na płaszczyźnie) i sferycznych (umieszczonych na powierzchni kuli). Rozwiązywaniem trójkąta nazywano wówczas procedurę znajdowania długości wszystkich boków i miar wszystkich kątów trójkąta w oparciu o pewne dane wyjściowe.

Trójkąty płaskie rozwiązywano na lekcjach matematyki we wszystkich dziewiętnastowiecznych szkołach średnich. W gimnazjach i szkołach typu realnego zadania te były na najwyższym poziomie trudności. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych było zarezerwowane niemalże wyłącznie dla szkół przygotowujących młodzież do studiów uniwersyteckich.

Rozważania umieszczone w niniejszym artykule będą skupione wokół trygonometrii płaskiej i rozwiązywania trójkątów płaskich. Zostaną omówione zagadnienia z trygonometrii płaskiej, umieszczone w jednym z najpopularniejszych podręczników do matematyki wykorzystywanych w gimnazjach funkcjonujących na ziemiach polskich zaboru pruskiego, czyli w podręczniku Die Elementar Mathematik (Matematyka elementarna) Ludwiga Kambly’ego1. Następnie będzie rozwiązane przykładowe zadanie z tego podręcznika dwiema metodami: z XIX i z XX wieku. Pojawi się też komentarz dotyczący rozwiązywania tego typu zadań w polskich szkołach w XXI wieku. Pozwoli to zaobserwować, jakich zmian na przestrzeni tych wieków dokonano w szkolnym sposobie rozwiązywania zadań typu „rozwiąż trójkąt płaski”.

Podręcznik Die Elementar Mathematik Ludwiga Kambly’ego składał się z czterech części: arytmetyczno-algebraicznej, planimetrycznej, trygonometrycznej oraz stereometrycznej. Każda część była oddzielną książką.

Trygonometria płaska w Die Elementar Mathematik L. Kambly’ego

Część trygonometryczna podręcznika Die Elementar Mathematik2 została podzielona na trzy główne rozdziały: goniometrię, trygonometrię płaską i trygonometrię sferyczną. Goniometria to dział trygonometrii zajmujący się badaniem własności funkcji trygonometrycznych3.

Wstępem do całej trygonometrii Kambly’ego są dwie definicje, w których autor wyjaśnił, że trygonometria płaska jest częścią planimetrii i zajmuje się rozwiązywaniem trójkątów, a jako część trygonometrii wyróżnił poligonometrię, która wiąże się z rozwiązywaniem wielokątów.

Goniometria

Linie trygonometryczne i funkcje trygonometryczne
Goniometrię autor rozpoczął od zdefiniowania linii trygonometrycznych w kole. Umieścił w nim kąt środkowy ACB, a następnie z końca jednego z jego ramion poprowadził linię prostopadłą (BD) do drugiego (oba ramiona są promieniami koła) – ryc. 1.

Wówczas, zgodnie z oznaczeniami na rysunku, wprowadził następujące definicje: 

  • linia BD nazywa się linią sinusa kąta ACB,
  • odległość BD od środka koła, czyli linia DC, nazywa się linią cosinusa kąta ACB,
  • odległość BD od końca promienia CA, czyli linia AD, nazywa się Sinus-versus-Linie kąta ACB,
  • linia prostopadła do jednego z promieni koła, poprowadzona z końca tego promienia aż do przecięcia z przedłużeniem drugiego promienia (linia AE), nazywa się linią tangensa kąta ACB,
  • odległość środka koła od końca linii tangensa, czyli punktu E, nazywa się linią secansa kąta ACB (linia CE),
  • przez linię cotangensa, cosecansa oraz Cosinus-versus-Linie kąta ostrego rozumie się odpowiednio linię tangensa, secansa oraz Sinus-versus-Linie jego kąta dopełniającego, np. linia cosecansa kąta α jest równa linii secansa kąta α

jest równa linii secansa kąta (90° − α).

 

Następnie Kambly przechodzi do zdefiniowania funkcji trygonometrycznych. Mówi, że jeżeli rozważymy stosunek odpowiedniej linii trygonometrycznej kąta środkowego, tj. linii sinusa, cosinusa, tangensa, secansa, cotangensa, cosecansa, Sinus-versus-Linie oraz Cosinus-versus-Linie, z promieniem koła, w który ten kąt został wpisany, to otrzymamy odpowiednią funkcję trygonometryczną kąta środkowego: sinus, cosinus, tangens, secans, cotangens, cosecans, Sinus-versus oraz Cosinus-versus kąta. Dopiero 12 stron dalej, w momencie, gdy autor zaczyna zajmować się rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych, bazując na definicji funkcji trygonometrycznych w kole, wyjaśnia, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

W jednym z najpopularniejszych podręczników szkolnych używanych w XXI wieku: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników dla klas: 1, 2 oraz 3456 autorstwa M. Kurczaba, E. Kurczab oraz E. Świdy, ma miejsce sytuacja odwrotna – funkcje trygonometryczne najpierw definiowane są w trójkącie prostokątnym7, a dopiero później (w drugiej klasie szkoły średniej) uczniowie dowiadują się, iż wartości funkcji trygonometrycznych mają ciekawą interpretację na tzw. kole trygonometrycznym i analizują tę interpretację8.
Należy również podkreślić, że w XXI wieku uczniowie poznają jedynie cztery funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Na lekcjach nie omawia się: secansa, cosecansa kąta ani funkcji: Sinus-versus oraz Cosinus-versus.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

W dalszej części podręcznika Kambly uzależnia jedne funkcje trygonometryczne od innych. Wyprowadza tutaj podstawowe tożsamości trygonometryczne, takie jak:

  • \(tg\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\)
  • \(sec\alpha=\frac{1}{cos\alpha}\)
  • \(sin.vers.\alpha=1-cos\alpha\)
  • \(cos.vers.\alpha=1-sin\alpha\)
  • \(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\)
  • \(cosec\alpha=\sqrt{1+ctg^{2}\alpha}\)

oraz pokazuje, w jaki sposób wykorzystać te wzory w konkretnych sytuacjach liczbowych. Na przykład zakłada, że \(sinx=\frac{3}{5}\) , i korzystając z wyprowadzonych wcześniej wzorów, oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x.

Funkcje trygonometryczne kątów większych od 90°.

Następnie autor przechodzi do omówienia zbioru wartości każdej z funkcji trygonometrycznych, gdy kąty znajdują się pomiędzy 0° a 90°. Omawia też sposoby obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów większych od 90° (pojawia się tutaj termin kofunkcja). Dalej wyprowadza kolejne wzory trygonometryczne, np. na sinus sumy dwóch kątów, sinus kąta podwojonego, sinus kąta potrojonego, sinus różnicy dwóch kątów czy sinus kąta przeciwnego [tzn. sin(−x) = − sin x], oraz bardziej złożone, np.:

\(sinm+sinn=2sin\frac{m+n}{2}\cdot sin\frac{m-n}{2}\)

Analogiczne wzory wyprowadza dla cosinusów, tangensów i cotangensów.

Tabele logarytmiczno-trygonometryczne

Ostatni paragraf części goniometrycznej autor poświęcił opisaniu metod korzystania z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Tablice te były niezbędne w trakcie rozwiązywania zadań z trygonometrii płaskiej i przestrzennej, w tym zadań poświęconych m.in. rozwiązywaniu trójkątów.

W XIX wieku używano bardzo dokładnych tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. Były one obszerne, zazwyczaj kilkusetstronicowe. Przykładowo w XIX wieku w Gimnazjum Toruńskim wykorzystywano najpierw Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch (Poradnik logarytmiczno-trygonometryczny) G.F. Vegi9, a później, pod koniec tego stulecia, Vierstellige Logarithmentafeln nebst mathematischen, physikalischen und astronomischen Tabellen (Czterocyfrowe tabele logarytmiczne wraz z tabelami matematycznymi, fizycznymi i astronomicznymi) A. Schülkego10. W innych szkołach niemieckojęzycznych w XIX wieku używano przykładowo następujących tablic:

  • Fünfstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowe tabele logarytmiczne i trygonometryczne) O. Schlömilcha11 – w Gimnazjum w Halberstadt w latach 1898–191112,
     
    Spis treści Fünfstellige logarithmische 
    und trigonometrische Tafeln (Pięciocyfrowych tabel logarytmicznych i trygonometrycznych) O. Schlömilcha11
     
    Strona
    Logarytmy Briggsa (czyli: logarytmy o podstawie 10; przyp. aut.) liczb naturalnych od 1 do 10909 1
    Tablice przekształcania logarytmów Briggsa w logarytmy naturalne 35
    Logarytmy Briggsa i logarytmy naturalne liczb często używanych 35
    Długość łuku okręgu dla każdego stopnia, każdej minuty i każdej sekundy oraz promienia równego 1 39
    Funkcje goniometryczne kątów w odstępach 10-minutowych 43
    Logarytmy funkcji goniometrycznych kątów w odstępach 1-minutowych 54
    Odwrotności liczb, pierwiastki kwadratowe i sześcienne oraz logarytmy naturalne liczb od 1 do 100 147
    Ćwiartki elipsy (tabele pozwalające obliczyć ćwierć obwodu elipsy, której jedna półoś jest równa 1, a druga zmienia swoją długość od 0 do 0,99 w odstępach: 0,01; przyp. aut.). 150
    Stałe fizyczne i chemiczne 155

     
  • Jerome de la Lande’s logarithmisch-trigonometrische Tafeln (Tabele logarytmiczno-trygonometryczne Jerome’a de la Lande’a) H.G. Köhlera13 – w Szkole Realnej I stopnia i Gimnazjum w Barmen w latach: 1865/1866, 1867–1870 i 1872–187514,
  • Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit Sechs Decimalstellen (Sześciocyfrowe tabele logarytmiczno trygonometryczne) C. Bremikera15 – w Gimnazjum w Krotoszynie w latach: 1887/1888, 1889–1891, 1895–1899, 1900/1901, 1902/1903, 1904/190516.

W tab. 1 został umieszczony spis treści jednej z wyżej wymienionych pozycji. Pozwala to zapoznać się z materiałem umieszczanym w dziewiętnastowiecznych tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych.

Przeglądając powyższy spis treści, można zauważyć, że najobszerniejszą część tablic stanowiły logarytmy funkcji goniometrycznych (inaczej trygonometrycznych) kątów w odstępach 1-minutowych. Kambly w swoim podręczniku wyjaśnił, że w tablicach logarytmiczno-trygonometrycznych umieszczano jedynie logarytmy czterech funkcji: sinus, cosinus, tangens i cotangens, bo one były najczęściej używane. Logarytm secansa i cosecansa można było wówczas łatwo wyznaczyć w oparciu o wartości umieszczone w tablicach: logarytm secansa jest równy minus logarytm sinusa, a logarytm cosecansa minus logarytm cosinusa17. Ponadto w związku z tym, że sinusy 
i cosinusy wszystkich kątów, a także tangensy kątów mniejszych od 45° i cotangensy ich kątów dopełniających mają wartości ułamkowe (mniejsze od 1), czyli ich logarytmy mają ujemne znaki, a wstawianie „minusów” zaburzyłoby czytelność tablic, to do wszystkich tych logarytmów w tablicach dodawano liczbę 10. Zatem, aby w takim przypadku wyznaczyć rzeczywistą wartość logarytmu, należało od wartości odczytanej z tablic odjąć 10, np. w tablicach logsin23° ma przypisaną (przybliżoną) wartość 9,5918780, zatem rzeczy-
wista wartość logsin 23° jest równa w przybliżeniu 9,5918780 − 1017. Autor opisuje też tutaj metodę interpolacji liniowej, służącą do obliczania kątów i logarytmów, których wartości nie zostały umieszczone w tablicach, przy wykorzystaniu wartości w nich podanych. Na tym kończy się część goniometryczna. Kambly przechodzi do trygonometrii płaskiej.

Trygonometria płaska -Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Trygonometrię płaską Kambly rozpoczyna od rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Najpierw mówi, czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów ostrych trójkąta prostokątnego, np. cotangens jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do rozważanego kąta i przyprostokątnej do niego przeciwległej, a po tym krótkim wstępie przechodzi do omówienia metod rozwiązywania trójkątów prostokątnych. Analizuje sytuację, w której dany jest jeden bok i jeden kąt trójkąta, po czym rozwiązuje trójkąt prostokątny, zakładając, że zna jego dwa boki. Opisuje tutaj sposoby rozumowania, które powinny być przeprowadzone w obu tych przypadkach, a następnie wciela je w życie, podając przykłady. Jeden z tych przykładów zostanie tutaj przytoczony ze względu na to, że kąty rozważane w podręczniku Kambly’ego są podane z dokładnością do sekund, co w podręcznikach z XXI wieku zdarza się niezwykle rzadko. Dodatkowo ciekawostkę stanowi tutaj sposób wykorzystania funkcji logarytmiczno-trygonometrycznych. W przykładzie tym zostaną zachowane oryginalne oznaczenia i sposób zapisu.

Zadanie18
Niech dana będzie przyprostokątna \(a=78^{m}\) trójkąta prostokątnego oraz jeden z jego kątów ostrych:\( ∠ A = 62°9'41''\). Znajdź drugi kąt ostry i pozostałe boki tego trójkąta (\(a=78^{m}\) oznacza, że przyprostokątna a ma długość 78 metrów; taka notacja była stosowana przez Kambly’ego we wszystkich częściach podręcznika Die Elementar Mathematik; miano zawsze zapisywał w indeksie górnym po prawej stronie liczby).

Rozwiązanie19
W natychmiastowy sposób można wyliczyć, że:
\(∠ B = 27°50'19''\)

oraz

\(c=\frac{78^{m}}{sin62^{\circ}9'41''}\)

zatem:

(zamiast od odjemnika odjąć 10, do odjemnej dodaliśmy 10), 
dlatego\( c = 88,2087^{m}\).

Ostatecznie mamy, że:

W powyższym rozwiązaniu wartości: log 78, logsin 62°9'41'' oraz logcot 62°9'41'' odczytano z tablic logarytmiczno-trygonometrycznych. W Logarithmisch-trigono-metrisches Handbuch (Poradniku logarytmiczno-trygonometrycznym) G.F. Vegi9 na
s. 2 można znaleźć wartość log78 (ryc. 2).

Dalej, korzystając z danych umieszczonych na s. 251: logsin 62°9' wartości oraz p...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy