Trzydziestościan rombowy (ryc. 1) jest jedną z brył Catalana – dualną do dwudziestodwunastościanu. Jest on też ściśle związany z dwunastościanem i dwudziestościanem foremnym, które są wzajemnie dualne. Jest on mianowicie powłoką (ang. convex hull, niem. Hülle, frac. enveloppe) kompozycji obu tych brył platońskich. Popatrzmy, jak ta powłoka powstaje.
POLECAMY
Wszystkie bryły platońskie i archmidesowe można wpisać w sześcian. Przypomnijmy najpierw,
jak można narysować dwudziestościan foremny wpisany w sześcian.
Przyjmijmy długość krawędzi sześcianu jako 1 i podzielmy ją w złotym stosunku. Na sześciu ścianach sześcianu odmierzmy na środkach ich symetralnych dłuższy odcinek φ = 0,61 803, tak jak na ryc. 2.
12 punktów końcowych tych odcinków jest wierzchołkami dwudziestościanu foremnego. Wystarczy teraz połączyć najbliższe punkty ze sobą, aby otrzymać tę bryłę (ryc. 3).
Nieco trudniejsze jest narysowanie dwunastościanu foremnego wpisanego w sześcian. Pierwszy krok jest podobny jak poprzednio, ale tym razem odmierzamy na symetralnych mniejszy odcinek złotego podziału 1 − φ = 0,38 197 i otrzymujemy
12 wierzchołków dwunastościanu. Osiem pozostałych wyznaczają wierzchołki mniejszego sześcianu o krawędzi φ, które leżą na czterech przekątnych sześcianu wyjściowego (ryc. 4 i 5).
Wpisując w sześcian jednocześnie dwunastościan i dwudziestościan foremny, otrzymamy ich kompozycję (ryc. 6). Trzydziestościan rombowy jest jej powłoką, której krawędzie są zaznaczone na ryc. 6 kolorem czerwonym.
Bryła ta ma 20 wierzchołków trzykrotnych i 12 pięciokrotnych. Przez ścinanie ich otrzymujemy trzy nowe bryły. Ścinając wszystkie wierzchołki trzykrote, powstaje 50-ścian (ryc. 8). Ścinając wszystkie wierzchołki pięciokrote, powstaje ładna, kulista bryła o 42 ścianach (ryc. 9).
A ścinając wszystkie wierzchołki trzydziestościanu rombowego, otrzymujemy 62-ścian (ryc. 10).
W tych trzech bryłach wierzchołki zostały tak ścięte, że w każdej bryle krawędzie mają jednakową długość. Jak to zostało zrobione?
Problem ten sprowadza się do zadania z geometrii płaskiej, dość łatwego nawet dla przeciętnego ucznia szkoły średniej.
W złotym rombie należy obciąć:
- dwa wierzchołki o kącie rozwartym,
- dwa wierzchołki o kącie ostrym,
- wszystkie cztery wierzchołki.
Trzeba zrobić to tak, aby boki nowo powstałych wielokątów miały tę samą długość. Te trzy przypadki ilustruje ryc. 11.
Należy skonstruować lub odliczyć wielkości a, p oraz q w przypadkach a, b i c.
Warto wspomnieć jeszcze o drugiej postaci trzydziestościanu rombowego, a mianowicie o jego niewypukłej wersji (ryc. 12).
Bryła ta, z „wciśniętymi” do środka ośmioma wierzchołkami trzykrotnymi, wykazuje znacznie mniej symetrii niż wypukły trzydziestościan
rombowy. Nie ma ona już 5- i 4-krotnych osi obrotu, a jedynie 3- i 2-krotne. Mówimy, że ma ona symetrię jak komórka kryształu pirytu.
Obie wersje trzydziesto-ścianu rombowego razem wypełniają przestrzeń (ryc. 13).
