Dołącz do czytelników
Brak wyników

Wrocławskie wspomnienia

Artykuły | 30 sierpnia 2018 | NR 29
203

Za młodu żyjesz marzeniami, na starość wspomnieniami – mówi polskie przysłowie. Będąc realistą, nie miałem zbyt wielu marzeń, a wspomnienia moje nie są typu „buszującego w zbożu”. Najważniejsi w nich są ludzie, których spotkałem. 

Wielu z nich miało znaczny wpływ na moje życie. Jednym z nich był prof. Hugo Steinhaus. Jego „Kalejdoskop matematyczny” już w szkole średniej był dla mnie olśnieniem. To było zupełnie inne spojrzenie na matematykę. 

W latach 60. rozpocząłem nowy okres życia, studiując architekturę na Politechnice Wrocławskiej. Jako przybysz z prowincji musiałem dość szybko zrewidować swoje wyobrażenie o wysokim poziomie nauczania na wyższej uczelni. Obok świetnych, dobrych i przeciętnych wykładowców i asystentów byli też, niestety, tacy, którzy nie potrafili przekonać mnie do swoich „kwalifikacji”.

Matematyka była tylko na pierwszym roku studiów. Szczęśliwym trafem wykładowcą matematyki został wówczas dr Ryszard Krasnodębski – młody, świetny matematyk o nieszablonowym spojrzeniu na nauczanie matematyki. On nie zamierzał uczyć „suchej” matematyki, którą student ma zaliczyć i potem zapomnieć. Doktor Krasnodębski próbował dostosować program do potrzeb adeptów architektury przez wprowadzenie do niego np. teorii wielościanów czy symetrii.

Przez kilka lat pozostawałem z nim w ścisłym kontakcie. Pod jego auspicjami miałem możliwość rozwijania swojej matematycznej wiedzy. Wtedy zbudowałem swój pierwszy regularny, nieskończenie wielki wielościan skośny z dwunastościanów rombowych (ryc. 1).

W 1968 roku podczas wypadków marcowych dr Krasnodębski w znaku solidarności z protestującymi studentami podjął strajk głodowy. Za swoją szlachetną postawę zapłacił wysoką cenę, gdyż został zwolniony z Politechniki, a w efekcie matematyka wrocławska straciła cennego fachowca. Niestety, dla ówczesnych władz partyjnych nie miało znaczenia, że ktoś jest świetnym pracownikiem. Takich ludzi pozbywano się bezlitośnie, gdyż byli zagrożeniem dla władzy. Polityka tego typu wcześniej czy później prowadzi do opłakanych skutków.

W 1966 roku dr Krasnodębski przedstawił mnie i mojego kolegę ze studiów, Jana Reszkę, profesorowi Steinhausowi, co zapoczątkowało osobiste kontakty z nim. Profesor zapraszał nas do swojej willi na Biskupinie. Był zawsze bardzo uprzejmy i otwarty. Z cierpliwością tłumaczył nam różne zawiłości matematyki. Pierwszy raz w życiu jadłem w jego domu smaczną zupę z soczewicy (Linsensuppe), którą nas poczęstował.
Korzystając z tego, że byliśmy studentami architektury, a więc a priori dobrymi rysownikami, poprosił nas o przygotowanie kilku rysunków do nowego, angielskiego wydania „Kalejdoskopu” („Mathematical Snapshots”). Poprosił nas m.in. po sugestii matematyków japońskich o narysowanie muru z cegieł bez fug poziomych, który będzie bardziej wytrzymały w przypadku trzęsienia ziemi niż mur tradycyjny. Te i inne rysunki, a także fotografie naszego modelu czworościanu z paraboloidami hiperbolicznymi znalazły się w amerykańskim wydaniu „Kalejdoskopu”.

Jeszcze przed osobistym spotkaniem z profesorem miałem z nim pośredni kontakt. Profesor Steinhaus miał fajny zwyczaj wywieszania w gablocie Instytutu Matematycznego, który mieścił się w gmachu D2 przy pl. Grunwaldzkim, kartek z różnymi problemami matematycznymi. Pewnego dnia pojawiła się tam notatka o czworokącie z przekątnymi. W tej figurze mamy 5 punktów i 10 wzajemnych odległości. Zadaniem było znalezienie takiego ich układu, aby wszystkie odległości były różnymi liczbami całkowitymi. Korzystając z praktycznych Tablic Matematycznych, w których można było znaleźć trójki pitagorejskie, szybko znalazłem rozwiązanie z przekątnymi przecinającymi się pod kątem prostym i wpisałem je na kartce profesora.

Sprawa wydawała mi się „załatwiona” i błaha, ale już po śmierci prof. Steinhausa w 1972 roku kupiłem jego książkę wydaną po niemiecku w NRD w 1973 roku 100 neue Aufgaben. Tam zobaczyłem zadanie z czworokątem (24. Aufgabe) i moje rozwiązanie. Był tam także znany, podchwytliwy problem ze studnią (94. Aufgabe), którego nie potrafiłem rozwiązać i profesor pokazał mi kiedyś metodę kolejnych przybliżeń.

Przez lata zadawałem sobie pytanie, czy są inne rozwiązania problemu z czworokątem bez kąta prostego między przekątnymi, ale brak czasu i praca zawodowa nie pozwoliły mi zająć się głębiej tym problemem.

Kilka lat temu pokazałem go znajomemu ze Stuttgartu, który jest pasjonatem matematyki, ale nie robi tego zawodowo. Nazywa się Enrico Bernal. On dość szybko znalazł inne rozwiązanie (ryc. 3).

Czy jest to w pełni poprawne rozwiązanie? Po sprawdzeniu na komputerze wszystko wyglądało w porządku. Problem tkwi jednak w tym, że program CAD, którym posłużyłem się, rysując tę figurę, operuje wewnętrznie liczbami mającymi 16 miejsc po przecinku. Czy to zapewnia 100-procentową dokładność? – tego nie wiem.

Bernal zauważył, że problem ten można rozszerzyć na sześciokąt z trzema przekątnymi. Powstaje wówczas układ mający 7 punktów i 15 wzajemnych odległości. Pokazał mi przykładowe rozwiązanie z sześciokątem, którego trzy główne przekątne przecinają się w jednym punkcie, a kąt między dwoma sąsiednimi przekątnymi wynosi 60° (ryc. 4).

Bernal skorzystał tu z twierdzenia cosinusów dla trójkąta i z faktu, że cos 60° = 0,5. Zatem twierdzenie cosinusów przybiera w tym przypadku taką formę:

\(c^2= c^2 + b^2 − ab\)

To równanie należy potraktować jako równanie diofantyczne, a rozwiązaniami mają być trzy różne liczby naturalne. Rozwiązań jest, oczywiście, nieskończenie wiele.

W pokazanym tu rozwiązaniu zostały wykorzystane wielokrotności trzech pierwotnych trójek liczb: (3, 7, 8), (8, 13, 15) i (16, 19, 21). Na ryc. 4 trójkąty podobne mają ten sam kolor. Przypuszczam, że rozwiązań jest więcej. Może ktoś z czytelników spróbuje znaleźć inne rozwiązanie?

W matematyce znane są podobne problemy, np. trójkąt Herona, cegła Eulera czy też perfekcyjny równoległościan.

P...

Pozostałe 70% treści dostępne jest tylko dla Prenumeratorów.

Co zyskasz, kupując prenumeratę?
  • 6 wydań czasopisma "Matematyka"
  • Dostęp do wszystkich archiwalnych artykułów w wersji online
  • Możliwość pobrania materiałów dodatkowych, testów i zadań
  • ...i wiele więcej!
Sprawdź

Przypisy